この問題は、扇形の弧の長さと面積、および円弧に対する中心角を求める問題です。 (1) 半径6km、中心角$\frac{\pi}{3}$の扇形の弧の長さと面積を求める。 (2) 半径20m、中心角$\frac{3\pi}{8}$の扇形の弧の長さと面積を求める。 (3) 半径84mの円において、長さ$63\pi$mの弧に対する中心角の大きさを求める。 (4) 面積$180\pi$cm$^2$の扇形において、弧の長さが$12\pi$cmのとき、半径と中心角を求める。

1. 問題の内容

この問題は、扇形の弧の長さと面積、および円弧に対する中心角を求める問題です。

(1) 半径6km、中心角$\frac{\pi}{3}$の扇形の弧の長さと面積を求める。

(2) 半径20m、中心角$\frac{3\pi}{8}$の扇形の弧の長さと面積を求める。

(3) 半径84mの円において、長さ$63\pi$mの弧に対する中心角の大きさを求める。

(4) 面積$180\pi$cm$^2$の扇形において、弧の長さが$12\pi$cmのとき、半径と中心角を求める。

2. 解き方の手順

(1) 扇形の弧の長さ$l$と面積$S$は、半径を$r$、中心角を$\theta$（ラジアン）とすると、それぞれ

$l = r\theta$

$S = \frac{1}{2}r^2\theta$

で求められます。

この問題では、$r = 6$km、$\theta = \frac{\pi}{3}$なので、

$l = 6 \times \frac{\pi}{3} = 2\pi$ km

$S = \frac{1}{2} \times 6^2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{\pi}{3} = 6\pi$ km$^2$

(2) この問題では、$r = 20$m、$\theta = \frac{3\pi}{8}$なので、

$l = 20 \times \frac{3\pi}{8} = \frac{60\pi}{8} = \frac{15\pi}{2}$ m

$S = \frac{1}{2} \times 20^2 \times \frac{3\pi}{8} = \frac{1}{2} \times 400 \times \frac{3\pi}{8} = \frac{1200\pi}{16} = 75\pi$ m$^2$

(3) 弧の長さ$l$と半径$r$が与えられているので、中心角$\theta$は

$\theta = \frac{l}{r}$

で求められます。

この問題では、$r = 84$m、$l = 63\pi$mなので、

$\theta = \frac{63\pi}{84} = \frac{3\pi}{4}$

(4) 扇形の面積$S$と弧の長さ$l$が与えられているので、半径$r$は

$S = \frac{1}{2}rl$

より、

$r = \frac{2S}{l}$

で求められます。中心角$\theta$は

$\theta = \frac{l}{r}$

で求められます。

この問題では、$S = 180\pi$cm$^2$、$l = 12\pi$cmなので、

$r = \frac{2 \times 180\pi}{12\pi} = \frac{360\pi}{12\pi} = 30$ cm

$\theta = \frac{12\pi}{30} = \frac{2\pi}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 弧の長さ: $2\pi$ km、面積: $6\pi$ km$^2$

(2) 弧の長さ: $\frac{15\pi}{2}$ m、面積: $75\pi$ m$^2$

(3) 中心角: $\frac{3\pi}{4}$

(4) 半径: 30 cm、中心角: $\frac{2\pi}{5}$