与えられた式 $\frac{\sin A \sin B}{\cos A} = \frac{\sin A \sin B}{\cos B}$ から、条件 $0 < A < \pi$ , $0 < B < \pi$ の下で、$A = B$ を導き、三角形ABCが$A=B$の二等辺三角形であることを示す。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sin A \sin B}{\cos A} = \frac{\sin A \sin B}{\cos B}$ から、条件 $0 < A < \pi$ , $0 < B < \pi$ の下で、$A = B$ を導き、三角形ABCが$A=B$の二等辺三角形であることを示す。

2. 解き方の手順

ステップ1: 与えられた式 $\frac{\sin A \sin B}{\cos A} = \frac{\sin A \sin B}{\cos B}$ の両辺に $\frac{\cos A \cos B}{\sin A \sin B}$ をかける。ただし、$\sin A \sin B \neq 0$ である必要がある。

$\frac{\sin A \sin B}{\cos A} \cdot \frac{\cos A \cos B}{\sin A \sin B} = \frac{\sin A \sin B}{\cos B} \cdot \frac{\cos A \cos B}{\sin A \sin B}$

ステップ2: 左辺と右辺をそれぞれ簡略化する。

$\cos B = \cos A$

ステップ3: 条件 $0 < A < \pi$ , $0 < B < \pi$ の下で、$\cos B = \cos A$ が成り立つのは、$A = B$ のときである。

したがって、$A = B$ である。

ステップ4: 三角形ABCにおいて、$A = B$ が成り立つので、この三角形は、$A = B$の二等辺三角形である。

3. 最終的な答え

三角形ABCは、$A = B$ の二等辺三角形である。