三角形ABCにおいて、$b \tan A = a \tan B$ が成り立つとき、この三角形はどのような三角形か。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b \tan A = a \tan B$ が成り立つとき、この三角形はどのような三角形か。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理を用いて、$a, b$ を角の正弦で表します。正弦定理より、

$a = 2R\sin A$

$b = 2R\sin B$

($R$は三角形ABCの外接円の半径)

これらを条件式 $b \tan A = a \tan B$ に代入すると、

$2R\sin B \tan A = 2R\sin A \tan B$

両辺を $2R$ で割って、

$\sin B \tan A = \sin A \tan B$

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$, $\tan B = \frac{\sin B}{\cos B}$ を代入すると、

$\sin B \frac{\sin A}{\cos A} = \sin A \frac{\sin B}{\cos B}$

$\frac{\sin A \sin B}{\cos A} = \frac{\sin A \sin B}{\cos B}$

両辺に $\frac{\cos A \cos B}{\sin A \sin B}$ をかけると、

$\cos B = \cos A$

$0 < A < \pi$, $0 < B < \pi$ より、$A = B$

したがって、三角形ABCは、$A=B$ の二等辺三角形である。

3. 最終的な答え

A = B の二等辺三角形