3辺の長さが $5t$, $t+2$, $2t+3$ である三角形が存在するための $t$ の範囲を求めよ。また、$t>2$ のとき、この三角形が鈍角三角形であることを示せ。

1. 問題の内容

3辺の長さが $5t$, $t+2$, $2t+3$ である三角形が存在するための $t$ の範囲を求めよ。また、$t>2$ のとき、この三角形が鈍角三角形であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 三角形が成立する条件は、任意の2辺の和が残りの1辺より大きいことである。

したがって、次の3つの不等式が成立する必要がある。

* $5t + (t+2) > 2t+3$

* $5t + (2t+3) > t+2$

* $(t+2) + (2t+3) > 5t$

これらの不等式をそれぞれ解く。

$5t + (t+2) > 2t+3$

$6t + 2 > 2t+3$

$4t > 1$

$t > \frac{1}{4}$

$5t + (2t+3) > t+2$

$7t + 3 > t+2$

$6t > -1$

$t > -\frac{1}{6}$

$(t+2) + (2t+3) > 5t$

$3t + 5 > 5t$

$5 > 2t$

$t < \frac{5}{2}$

以上より、$\frac{1}{4} < t < \frac{5}{2}$

(2) $t > 2$ のとき、三角形が鈍角三角形であることを示す。

3辺の長さを $a = 5t$, $b = t+2$, $c = 2t+3$ とする。

$a^2$, $b^2$, $c^2$ を計算する。

$a^2 = (5t)^2 = 25t^2$

$b^2 = (t+2)^2 = t^2 + 4t + 4$

$c^2 = (2t+3)^2 = 4t^2 + 12t + 9$

鈍角三角形になる条件は、$a^2 > b^2 + c^2$ が成り立つことである。

$25t^2 > t^2 + 4t + 4 + 4t^2 + 12t + 9$

$25t^2 > 5t^2 + 16t + 13$

$20t^2 - 16t - 13 > 0$

ここで、$f(t) = 20t^2 - 16t - 13$ とすると、$t > 2$ において $f(t)$ が正であることを示す。

$f(2) = 20(2^2) - 16(2) - 13 = 80 - 32 - 13 = 35 > 0$

$t > 2$ では $f(t)$ は増加するので、$f(t) > 0$ である。

したがって、$t > 2$ のとき、$a^2 > b^2 + c^2$ が成り立つので、鈍角三角形である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4} < t < \frac{5}{2}$

(2) $t>2$ のとき、鈍角三角形である。