三角形ABCに内接する円Oがあり、その接点をD, E, Fとする。BD = 5, CE = 11, CD = 7であるとき、AFの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCに内接する円Oがあり、その接点をD, E, Fとする。BD = 5, CE = 11, CD = 7であるとき、AFの長さを求める。

2. 解き方の手順

円外の一点から円に引いた2本の接線の長さは等しいという性質を利用する。

* BD = BF = 5

* CE = CF = 11

* CD = 7であるから、CD = CE = 7 は誤り。正しくはCD = 7。

AFの長さを $x$ とすると、AF = AE = $x$ となる。

ACの長さは、AE + EC = $x$ + 11 となる。

ABの長さは、AF + FB = $x$ + 5 となる。

BCの長さは、BD + DC = 5 + 7 = 12 となる。

三角形ABCの辺の長さは、AB = $x$ + 5, BC = 12, CA = $x$ + 11である。

問題文のCE = 11が正しいとすると、CD = 7であるから

CF = CE = 11となる。

AC = AF + FC = AF + 11

BC = BD + DC = 5 + 7 = 12

AB = AF + FB = AF + 5

CF = CE = 11

AC = AE + EC = $x$ + 11

AB = AF + FB = $x$ + 5

BC = BD + DC = 5 + 7 = 12

$x + 11 = x + 11$

$x + 5 = x + 5$

しかし、これだけでは $x$ が求まらない。問題文に誤りがあるか、あるいは別の情報が必要である。

CE = 11の代わりにCE = 7と仮定すると、

$CF = CE = 7$

$AC = AF + FC = x + 7$

$AB = x + 5$

$BC = 12$

この場合もxを決定することはできない。問題設定がおかしい。

しかし、よく見ると図にCE = 11と書いてあるので、これを正として計算する。

AF = xとおくと、AE = x

AC = AE + EC = x + 11

AB = AF + FB = x + 5

BC = BD + DC = 5 + 7 = 12

内接円の問題なので、内接円の半径をrとすると、

三角形の面積 S = rs (sは半周長)

s = (AB + BC + CA) / 2 = (x+5 + 12 + x+11) / 2 = (2x + 28) / 2 = x + 14

S = r(x+14)

ヘロンの公式を使うと、

S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))

S = sqrt((x+14)(x+14 - 12)(x+14 - x - 5)(x+14 - x - 11))

S = sqrt((x+14)(x+2)(9)(3))

S = sqrt(27(x+14)(x+2))

r(x+14) = sqrt(27(x+14)(x+2))

r = sqrt(27(x+2) / (x+14))

この式からxを求めることはできない。

AFの長さを直接求める別のアプローチを探す。

AF = x, BD = 5, CD = 7, CE = 11

AF = AE = x, BD = BF = 5, CD = CE = 7 (CE = 11は誤り)

x + 5 + 12 + x + 7 = (周囲の長さ)

もしCE = 11であれば、CF = CE = 11

$x + 5 + 12 + x + 11 = 2x + 28$

半周長は$x + 14$

$CE = 11$が正しい場合、$CE = 11 = CF$

$x = AB = x + 5$, $BC = 12$, $AC = x + 11$

もしCD = 7が正しいとすると、$CF = CE = CD = 7$

この問題は与えられた情報だけではAFの長さを一意に定めることができません。

もし、CE = 6であれば、

AF = 4

3. 最終的な答え

問題文に誤りがあるため、AFの長さを一意に決定することができません。CE=6の場合、AF=4となります。しかし、CE=11であるという前提だとAFは求まりません。