一辺の長さが1の正三角形ABCを底面とする四面体OABCを考える。ただし、$OA = OB = OC = a$ であり、$a \geq 1$とする。頂点Oから三角形ABCに下ろした垂線の足をHとする。 (1) AHの長さを求めよ。 (2) 線分OHの長さを$a$を用いて表せ。 (3) 四面体OABCが球Sに内接しているとする。この球Sの半径rを$a$を用いて表せ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正三角形ABCを底面とする四面体OABCを考える。ただし、$OA = OB = OC = a$ であり、$a \geq 1$とする。頂点Oから三角形ABCに下ろした垂線の足をHとする。

(1) AHの長さを求めよ。

(2) 線分OHの長さを$a$を用いて表せ。

(3) 四面体OABCが球Sに内接しているとする。この球Sの半径rを$a$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) AHの長さを求める。

Hは正三角形ABCの外心である。正三角形ABCの外心は重心と一致し、AHは正三角形ABCの中線（または高さ）の2/3の長さとなる。

正三角形ABCの高さは$\frac{\sqrt{3}}{2}$である。

したがって、$AH = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) 線分OHの長さを求める。

直角三角形OAHにおいて、三平方の定理より

$OH^2 + AH^2 = OA^2$

$OH^2 = a^2 - AH^2 = a^2 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = a^2 - \frac{1}{3}$

$OH = \sqrt{a^2 - \frac{1}{3}}$

(3) 四面体OABCが球Sに内接しているときの球Sの半径rを求める。

四面体OABCが球Sに内接しているとき、その球Sの中心はOから平面ABCに下ろした垂線上にある。球の中心をIとする。

AI=BI=CI=OI=rである。IH= $|OH - r|$となる。

直角三角形AIHにおいて、

$AI^2 = AH^2 + IH^2$

$r^2 = (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 + (\sqrt{a^2-\frac{1}{3}} - r)^2$

$r^2 = \frac{1}{3} + a^2 - \frac{1}{3} - 2r\sqrt{a^2-\frac{1}{3}} + r^2$

$0 = a^2 - 2r\sqrt{a^2-\frac{1}{3}}$

$2r\sqrt{a^2-\frac{1}{3}} = a^2$

$r = \frac{a^2}{2\sqrt{a^2 - \frac{1}{3}}} = \frac{a^2}{2\sqrt{\frac{3a^2 - 1}{3}}} = \frac{\sqrt{3}a^2}{2\sqrt{3a^2 - 1}}$

3. 最終的な答え

(1) $AH = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $OH = \sqrt{a^2 - \frac{1}{3}}$

(3) $r = \frac{\sqrt{3}a^2}{2\sqrt{3a^2 - 1}}$