与えられた2つの式の2重根号を外して簡単にせよ。 (1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの式の2重根号を外して簡単にせよ。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ の場合

まず、$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ という公式を利用することを考えます。

$7+2\sqrt{10}$ を $a+b+2\sqrt{ab}$ の形にするために、 $a+b=7$ かつ $ab=10$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a=5$ と $b=2$ が条件を満たすことが分かります。

よって、$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{5+2+2\sqrt{5 \cdot 2}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$となります。

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ の場合

$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ という公式を利用することを考えます。 ただし、$a > b$とします。

まず、$6\sqrt{3}$ を $2\sqrt{ab}$ の形にするために、 $\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$ と変形します。

$a+b=12$ かつ $ab=27$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a=9$ と $b=3$ が条件を満たすことが分かります。

よって、$\sqrt{12-2\sqrt{27}} = \sqrt{9+3-2\sqrt{9 \cdot 3}} = \sqrt{9} - \sqrt{3} = 3 - \sqrt{3}$となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $3 - \sqrt{3}$