与えられた3つの式について、2重根号を外して式を簡単にせよ。 (1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{3+\sqrt{5}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式について、2重根号を外して式を簡単にせよ。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{3+\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ を変形する。

$7 = 5+2$ かつ $10 = 5 \times 2$ であることを利用する。

$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{(5+2) + 2\sqrt{5 \times 2}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2)

$\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ を変形する。

$6\sqrt{3} = 2\sqrt{27}$であるから、$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$となる。

$12 = 9+3$ かつ $27 = 9 \times 3$ であることを利用する。

$\sqrt{12-2\sqrt{27}} = \sqrt{(9+3) - 2\sqrt{9 \times 3}} = \sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = 3-\sqrt{3}$

(3)

$\sqrt{3+\sqrt{5}}$ を変形する。

$2\sqrt{3+\sqrt{5}} = \sqrt{4(3+\sqrt{5})} = \sqrt{12+4\sqrt{5}} = \sqrt{12+2\sqrt{20}}$

$12 = 10+2$ かつ $20 = 10 \times 2$ であることを利用する。

$\sqrt{12+2\sqrt{20}} = \sqrt{(10+2) + 2\sqrt{10 \times 2}} = \sqrt{(\sqrt{10}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{10}+\sqrt{2}$

よって、$\sqrt{3+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $3-\sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$