(1) 7個の数字 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3 をすべて並べてできる7桁の整数は全部で何個あるか求めよ。 (2) 図のような道がある。地点Pから地点Qまで行く最短の道順は、全部で何通りあるか求めよ。 (3) 2個のさいころを同時に投げるとき、目の和が9になる確率を求めよ。 (4) 当たりをちょうど3本含む10本のくじがある。この中から同時に3本のくじを引くとき、少なくとも1本は当たりくじを引く確率を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 7個の数字 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3 をすべて並べてできる7桁の整数は全部で何個あるか求めよ。

(2) 図のような道がある。地点Pから地点Qまで行く最短の道順は、全部で何通りあるか求めよ。

(3) 2個のさいころを同時に投げるとき、目の和が9になる確率を求めよ。

(4) 当たりをちょうど3本含む10本のくじがある。この中から同時に3本のくじを引くとき、少なくとも1本は当たりくじを引く確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

7個の数字を並べる順列の総数は $7!$ です。ただし、同じ数字が複数あるので、それらの順列で割る必要があります。

1が2個、2が2個、3が3個あるので、

$\frac{7!}{2!2!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 = 210$

(2)

PからQまで最短の道順で行くためには、右に5回、上に3回移動する必要があります。

したがって、合計8回の移動のうち、右に移動する5回を選ぶ組み合わせの数を求めればよいです。これは、${}_8C_5$ で計算できます。

${}_8C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

(3)

2つのサイコロの目の和が9になるのは、(3,6), (4,5), (5,4), (6,3) の4通りです。

サイコロの目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通りなので、確率は $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

(4)

少なくとも1本が当たりくじを引く確率を求めるには、余事象（つまり、3本とも外れくじを引く確率）を1から引くのが簡単です。

外れくじは7本あります。3本とも外れくじを引く確率は、

$\frac{{}_7C_3}{{}_{10}C_3} = \frac{\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{7 \times 6 \times 5}{10 \times 9 \times 8} = \frac{7 \times 1 \times 1}{2 \times 3 \times 4} = \frac{7}{24}$

したがって、少なくとも1本が当たりくじを引く確率は

$1 - \frac{7}{24} = \frac{24-7}{24} = \frac{17}{24}$

3. 最終的な答え

(1) 210個

(2) 56通り

(3) $\frac{1}{9}$

(4) $\frac{17}{24}$