問題70 (1) 大小2個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の和が8である出方は全部で何通りあるかを求める問題です。 問題70 (2) 大中小3個のサイコロを同時に投げるとき、すべての目3以下である出方は全部で何通りあるかを求める問題です。 問題71 大中小3個のさいころを同時に投げるとき、出た目の和が6である出方は全部で何通りあるか。 問題72 1から10までの数が1つずつ書かれたカードが10枚ある。この中から2枚のカードを同時に選ぶとき、選んだカードに書かれている数の和が6の倍数である場合は、全部で何通りあるか求めよ。 問題72 (2) 1から9までの数が1つずつ書かれたカードが9枚ある。この中から2枚のカードを同時に選ぶとき、選んだカードに書かれている数の和が8である場合は、全部で何通りあるか求めよ。 問題73 (1) 7人から4人を選んで1列に並べるとさ、並び方の総数を求めよ。 問題73 (2) 6人の生徒が手をつないで1つの輪をつくるとき、並び方の総数を求めよ。 問題73 (3) 5個の数字1,2,3,4,5を重複を許して並べて3桁の整数をつくるとき、全部で何個の整数ができるか求めよ。 問題74 9種類の本から6種類の本を選ぶとき、選び方の総数を求めよ。

1. 問題の内容

問題70 (1) 大小2個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の和が8である出方は全部で何通りあるかを求める問題です。

問題70 (2) 大中小3個のサイコロを同時に投げるとき、すべての目3以下である出方は全部で何通りあるかを求める問題です。

問題71 大中小3個のさいころを同時に投げるとき、出た目の和が6である出方は全部で何通りあるか。

問題72 1から10までの数が1つずつ書かれたカードが10枚ある。この中から2枚のカードを同時に選ぶとき、選んだカードに書かれている数の和が6の倍数である場合は、全部で何通りあるか求めよ。

問題72 (2) 1から9までの数が1つずつ書かれたカードが9枚ある。この中から2枚のカードを同時に選ぶとき、選んだカードに書かれている数の和が8である場合は、全部で何通りあるか求めよ。

問題73 (1) 7人から4人を選んで1列に並べるとさ、並び方の総数を求めよ。

問題73 (2) 6人の生徒が手をつないで1つの輪をつくるとき、並び方の総数を求めよ。

問題73 (3) 5個の数字1,2,3,4,5を重複を許して並べて3桁の整数をつくるとき、全部で何個の整数ができるか求めよ。

問題74 9種類の本から6種類の本を選ぶとき、選び方の総数を求めよ。

2. 解き方の手順

問題70 (1)

大小のサイコロの目をそれぞれ $x, y$ とすると、$x + y = 8$ となる組み合わせを考えます。

$x, y$ は1から6までの整数であることに注意します。

$(x, y) = (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ の5通りです。

問題70 (2)

大中小のサイコロの目をそれぞれ $x, y, z$ とすると、$x, y, z$ はすべて3以下である必要があります。

つまり、$x, y, z$ はそれぞれ1, 2, 3のいずれかです。

したがって、組み合わせは $3 \times 3 \times 3 = 27$ 通りです。

問題71

大中小のサイコロの目をそれぞれ $x, y, z$ とすると、$x + y + z = 6$ となる組み合わせを考えます。

$x, y, z$ は1から6までの整数であることに注意します。

組み合わせは、(1,1,4), (1,2,3), (1,3,2), (1,4,1), (2,1,3), (2,2,2), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1), (4,1,1)の10通りです。

(1,1,4)は3通り、(2,2,2)は1通り、(1,2,3)は6通り。よって、3+1+6=10通り

問題72

2枚のカードの数字をそれぞれ $x, y$ とすると、$x + y$ が6の倍数となる組み合わせを考えます。

$x, y$ は1から10までの整数で、$x \neq y$ であることに注意します。

$x + y = 6, 12, 18$ となる組み合わせを考えます。

$x + y = 6$ となるのは、$(1, 5), (2, 4)$

$x + y = 12$ となるのは、$(2, 10), (3, 9), (4, 8), (5, 7)$

$x + y = 18$ となるのは、$(8, 10), (7, 11)$

合計は、(1,5), (2,4), (2,10), (3,9), (4,8), (5,7), (7,10),(8,10)

(1,5), (2,4), (3,9), (4,8), (5,7), (2,10), (10,2)

(7,5),(5,7)

カードが1から10なので

(1,5), (2,4), (3,9), (4,8), (5,7), (6,6) なので6と6は存在しない。 (7,5),

6通り

問題72 (2)

2枚のカードの数字をそれぞれ $x, y$ とすると、$x + y = 8$ となる組み合わせを考えます。

$x, y$ は1から9までの整数で、$x \neq y$ であることに注意します。

$(1, 7), (2, 6), (3, 5)$

合計は3通りです。

問題73 (1)

7人から4人を選んで1列に並べる並び方は、順列で計算できます。

$_7P_4 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$ 通りです。

問題73 (2)

6人が輪になる並び方は、円順列で計算できます。

$(6 - 1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通りです。

問題73 (3)

5個の数字から重複を許して3桁の整数を作るので、各桁は5通りの選択肢があります。

$5 \times 5 \times 5 = 125$ 通りです。

問題74

9種類から6種類を選ぶ組み合わせは、組み合わせで計算できます。

$_9C_6 = \frac{9!}{6!3!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$ 通りです。

3. 最終的な答え

問題70 (1): 5通り

問題70 (2): 27通り

問題71: 10通り

問題72: 6通り

問題72 (2): 3通り

問題73 (1): 840通り

問題73 (2): 120通り

問題73 (3): 125通り

問題74: 84通り