集団Aにおいて、病気Xにかかっている人が4%いる。病気Xの検査で、病気Xにかかっている人が正しく陽性と判定される確率は80%、かかっていない人が誤って陽性と判定される確率は10%である。 (1) ある人が検査を受け、陽性と判定されたとき、その人が病気Xにかかっている確率を求める。 (2) ある人が検査を受け、陰性と判定されたとき、その人が実際には病気Xにかかっている確率を求める。

1. 問題の内容

集団Aにおいて、病気Xにかかっている人が4%いる。病気Xの検査で、病気Xにかかっている人が正しく陽性と判定される確率は80%、かかっていない人が誤って陽性と判定される確率は10%である。

(1) ある人が検査を受け、陽性と判定されたとき、その人が病気Xにかかっている確率を求める。

(2) ある人が検査を受け、陰性と判定されたとき、その人が実際には病気Xにかかっている確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) ベイズの定理を用いる。

A: 病気Xにかかっている事象

B: 陽性と判定される事象

求めたいのは $P(A|B)$ である。

$P(A) = 0.04$ (病気Xにかかっている確率)

$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 0.96$ (病気Xにかかっていない確率)

$P(B|A) = 0.8$ (病気Xにかかっている人が陽性と判定される確率)

$P(B|\overline{A}) = 0.1$ (病気Xにかかっていない人が陽性と判定される確率)

ベイズの定理より、

$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

$P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A}) = 0.8 \times 0.04 + 0.1 \times 0.96 = 0.032 + 0.096 = 0.128$

$P(A|B) = \frac{0.8 \times 0.04}{0.128} = \frac{0.032}{0.128} = \frac{32}{128} = \frac{1}{4}$

(2) ベイズの定理を用いる。

A: 病気Xにかかっている事象

C: 陰性と判定される事象

求めたいのは $P(A|C)$ である。

$P(A) = 0.04$ (病気Xにかかっている確率)

$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 0.96$ (病気Xにかかっていない確率)

$P(C|A) = 1 - P(B|A) = 1 - 0.8 = 0.2$ (病気Xにかかっている人が陰性と判定される確率)

$P(C|\overline{A}) = 1 - P(B|\overline{A}) = 1 - 0.1 = 0.9$ (病気Xにかかっていない人が陰性と判定される確率)

ベイズの定理より、

$P(A|C) = \frac{P(C|A)P(A)}{P(C)}$

$P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|\overline{A})P(\overline{A}) = 0.2 \times 0.04 + 0.9 \times 0.96 = 0.008 + 0.864 = 0.872$

$P(A|C) = \frac{0.2 \times 0.04}{0.872} = \frac{0.008}{0.872} = \frac{8}{872} = \frac{1}{109}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4}$

(2) $\frac{1}{109}$