$n$ を自然数とする。数字1が書かれたカードが $n$ 枚、数字4が書かれたカードが1枚、そして記号△が書かれたカードが1枚、合計 $n+2$ 枚のカードがある。これらのカードから2枚を同時に引くとき、カードに書かれた数字の合計を得点とする。ただし、引いたカードの中に△が含まれる場合、得点は0点とする。 (1) 得点が0点、2点、5点となる確率をそれぞれ求めよ。 (2) 得点の期待値を求めよ。 (3) (2) で求めた期待値を $a_n$ とおくとき、$a_{n+1} - a_n$ の符号を調べることにより、$a_n$ が最大となる $n$ をすべて求めよ。 そして、選択肢から答えを選ぶ問題。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とする。数字1が書かれたカードが $n$ 枚、数字4が書かれたカードが1枚、そして記号△が書かれたカードが1枚、合計 $n+2$ 枚のカードがある。これらのカードから2枚を同時に引くとき、カードに書かれた数字の合計を得点とする。ただし、引いたカードの中に△が含まれる場合、得点は0点とする。

(1) 得点が0点、2点、5点となる確率をそれぞれ求めよ。

(2) 得点の期待値を求めよ。

(3) (2) で求めた期待値を $a_n$ とおくとき、$a_{n+1} - a_n$ の符号を調べることにより、$a_n$ が最大となる $n$ をすべて求めよ。

そして、選択肢から答えを選ぶ問題。

2. 解き方の手順

(1)

全事象は ${}_{n+2}C_2 = \frac{(n+2)(n+1)}{2}$通り。

* 0点となる場合: △が含まれる場合。△ともう1枚を引くので、確率は $\frac{n+1}{{}_{n+2}C_2} = \frac{2(n+1)}{(n+2)(n+1)} = \frac{2}{n+2}$

* 2点となる場合: 2枚とも1を引く場合。確率は $\frac{{}_nC_2}{{}_{n+2}C_2} = \frac{n(n-1)/2}{(n+2)(n+1)/2} = \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)}$

* 5点となる場合: 1枚が1、もう1枚が4の場合。確率は $\frac{n \cdot 1}{{}_{n+2}C_2} = \frac{2n}{(n+2)(n+1)}$

(2)

期待値 $a_n$ を求める。

$a_n = 0 \cdot \frac{2}{n+2} + 2 \cdot \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)} + 5 \cdot \frac{2n}{(n+2)(n+1)} = \frac{2n(n-1)+10n}{(n+2)(n+1)} = \frac{2n(n+4)}{(n+2)(n+1)}$

(3)

$a_{n+1} - a_n$ の符号を調べる。

$a_{n+1} = \frac{2(n+1)(n+5)}{(n+3)(n+2)}$

$a_{n+1} - a_n = \frac{2(n+1)(n+5)}{(n+3)(n+2)} - \frac{2n(n+4)}{(n+2)(n+1)} = \frac{2(n+1)^2(n+5) - 2n(n+4)(n+3)}{(n+1)(n+2)(n+3)} = \frac{2(n^3+7n^2+11n+5) - 2(n^3+7n^2+12n)}{(n+1)(n+2)(n+3)} = \frac{2(-n+5)}{(n+1)(n+2)(n+3)}$

$a_{n+1} - a_n > 0$ のとき、$5 - n > 0$ つまり $n < 5$。

$a_{n+1} - a_n < 0$ のとき、$5 - n < 0$ つまり $n > 5$。

$a_{n+1} - a_n = 0$ のとき、$n = 5$。

したがって、$a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5 = a_6 > a_7 > a_8 > \dots$

$a_n$ が最大となる $n$ は $n=5, 6$。

3. 最終的な答え

(1)

0点：$\frac{2}{n+2}$, 2点：$\frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)}$, 5点：$\frac{2n}{(n+2)(n+1)}$

(2)

$a_n = \frac{2n(n+4)}{(n+2)(n+1)}$

(3)

$n=5, 6$