袋の中に青玉が4個、黄玉が3個、赤玉が2個入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、以下の確率を求める。 (1) 取り出した3個の玉の色が3色である確率 (2) 取り出した3個の玉の色が2色である確率

1. 問題の内容

袋の中に青玉が4個、黄玉が3個、赤玉が2個入っている。この袋から同時に3個の玉を取り出すとき、以下の確率を求める。

(1) 取り出した3個の玉の色が3色である確率

(2) 取り出した3個の玉の色が2色である確率

2. 解き方の手順

(1) 3個の玉の色が全て異なる場合（青、黄、赤が1個ずつ）の確率を求める。

全事象は9個の玉から3個を選ぶ組み合わせなので、${}_9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$通り。

3個の色が異なる組み合わせは、青を1個、黄を1個、赤を1個選ぶので、${}_4C_1 \times {}_3C_1 \times {}_2C_1 = 4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

したがって、求める確率は

$\frac{24}{84} = \frac{2}{7}$

(2) 3個の玉の色が2色である確率を求める。

全事象は(1)と同じで84通り。

2色の組み合わせは以下の通り。

- 青2個、黄1個：${}_4C_2 \times {}_3C_1 = 6 \times 3 = 18$通り

- 青2個、赤1個：${}_4C_2 \times {}_2C_1 = 6 \times 2 = 12$通り

- 黄2個、青1個：${}_3C_2 \times {}_4C_1 = 3 \times 4 = 12$通り

- 黄2個、赤1個：${}_3C_2 \times {}_2C_1 = 3 \times 2 = 6$通り

- 赤2個、青1個：${}_2C_2 \times {}_4C_1 = 1 \times 4 = 4$通り

- 赤2個、黄1個：${}_2C_2 \times {}_3C_1 = 1 \times 3 = 3$通り

これらの合計は$18 + 12 + 12 + 6 + 4 + 3 = 55$通り。

したがって、求める確率は

$\frac{55}{84}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{7}$

(2) $\frac{55}{84}$