10人の入院患者を4人用病室A, 4人用病室B, 2人用病室Cの3つの病室に振り分ける。 (1) 10人の病室の振り分け方は全部で何通りか。 (2) 10人のうち、ある3人はトラブル回避のため同じ病室に入ることができず、3人がそれぞれ別の病室に入る時の振り分け方は何通りか。

1. 問題の内容

10人の入院患者を4人用病室A, 4人用病室B, 2人用病室Cの3つの病室に振り分ける。

(1) 10人の病室の振り分け方は全部で何通りか。

(2) 10人のうち、ある3人はトラブル回避のため同じ病室に入ることができず、3人がそれぞれ別の病室に入る時の振り分け方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) まず、10人から4人を選び病室Aに入れる組み合わせを求める。これは $_{10}C_4$ 通り。

次に、残りの6人から4人を選び病室Bに入れる組み合わせを求める。これは $_6C_4$ 通り。

最後に、残りの2人を病室Cに入れる組み合わせは $_2C_2 = 1$ 通り。

よって、10人の病室の振り分け方は

$_{10}C_4 \times _6C_4 \times _2C_2 = \frac{10!}{4!6!} \times \frac{6!}{4!2!} \times 1 = \frac{10!}{4!4!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 \times 3 \times 5 = 3150$ 通り。

(2) まず、3人がそれぞれ別の病室に入ることを考える。

3人のうち1人がAに入る、1人がBに入る、1人がCに入る組み合わせを考える。

3人からAに入る1人を選ぶ方法は $_3C_1 = 3$ 通り。

残りの2人からBに入る1人を選ぶ方法は $_2C_1 = 2$ 通り。

残りの1人がCに入る方法は $_1C_1 = 1$ 通り。

したがって、3人がそれぞれの病室に入る方法は $3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

残りの7人の振り分けを考える。

Aには1人、Bには1人が既にいるので、残りの7人のうち、3人をAに入れる組み合わせは $_7C_3$ 通り。

次に、残りの4人から3人をBに入れる組み合わせは $_4C_3$ 通り。

残りの1人をCに入れる組み合わせは $_1C_1 = 1$ 通り。

したがって、残りの7人の振り分け方は $_7C_3 \times _4C_3 \times _1C_1 = \frac{7!}{3!4!} \times \frac{4!}{3!1!} \times 1 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times 4 = 35 \times 4 = 140$ 通り。

よって、合計の振り分け方は $6 \times 140 = 840$通り。

3. 最終的な答え

(1) 3150通り

(2) 840通り