M大学の女子学生992人の身長を母集団とする。この母集団から無作為に10本の標本を取り出したときの、標本平均の95%予言的中区間を少数第1位まで求めよ。ただし、母平均は156.4cm、母標準偏差は5cmとする。

1. 問題の内容

M大学の女子学生992人の身長を母集団とする。この母集団から無作為に10本の標本を取り出したときの、標本平均の95%予言的中区間を少数第1位まで求めよ。ただし、母平均は156.4cm、母標準偏差は5cmとする。

2. 解き方の手順

標本平均の95%予言的中区間を求めるには、以下の手順に従います。

ステップ1: 標本平均の標準誤差を計算する。

標本平均の標準誤差は、母標準偏差を標本サイズの平方根で割ることによって求められます。

$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、$\sigma$ は母標準偏差（5cm）、$n$ は標本サイズ（10）です。

$SE = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} \approx 1.581$

ステップ2: 95%予言的中区間を計算する。

95%予言的中区間は、標本平均の信頼区間と似ていますが、標本平均の値ではなく、母平均の値を推定するために使われます。一般的に、95%予言的中区間は、標本平均を中心とした範囲で、その範囲内に95%の確率で母平均が含まれると推定します。

95%予言的中区間は、次の式で計算されます。

$\mu \pm z \times SE$

ここで、$\mu$ は母平均（156.4cm）、$z$ は95%信頼水準に対応するz値（1.96）、$SE$ は標本平均の標準誤差（1.581）です。

$156.4 \pm 1.96 \times 1.581$

$156.4 \pm 3.09876$

ステップ3: 区間の上限と下限を計算する。

区間の上限は、母平均に $z \times SE$ を加えることによって計算されます。

$156.4 + 3.09876 = 159.49876$

区間の下限は、母平均から $z \times SE$ を引くことによって計算されます。

$156.4 - 3.09876 = 153.30124$

ステップ4: 少数第1位に丸める。

区間の上限と下限を少数第1位に丸めます。

上限: 159.5

下限: 153.3

3. 最終的な答え

95%予言的中区間は、153.3cmから159.5cmです。