男性看護師2人と女性看護師6人の中から4人を選ぶ。 (1) 4人の看護師の組み合わせが全部で何通りあるかを求める。 (2) 少なくとも男性看護師が1人以上選ばれる組み合わせが何通りあるかを求める。

1. 問題の内容

男性看護師2人と女性看護師6人の中から4人を選ぶ。

(1) 4人の看護師の組み合わせが全部で何通りあるかを求める。

(2) 少なくとも男性看護師が1人以上選ばれる組み合わせが何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

(1)

4人の看護師の組み合わせは、男性看護師2人と女性看護師6人の中から4人を選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を使って計算する。

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

看護師全体の人数は $2 + 6 = 8$ 人。この中から4人を選ぶので、

$C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ 通り。

(2)

少なくとも男性看護師が1人以上選ばれる組み合わせの数を求める。これは、全体の組み合わせの数から、男性看護師が1人も選ばれない組み合わせの数を引くことで求める。

全体の組み合わせの数は、(1)で求めたように70通り。

男性看護師が1人も選ばれない組み合わせは、女性看護師6人の中から4人を選ぶ組み合わせなので、

$C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

したがって、少なくとも男性看護師が1人以上選ばれる組み合わせの数は、

$70 - 15 = 55$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 70通り

(2) ウ 55通り