1つのサイコロを5回投げる時、 (ア) 3の倍数の目が4回出る確率 (イ) 3の倍数の目が4回以上出る確率 (ウ) 5回目に3度目の3の倍数の目が出る確率 をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

1つのサイコロを5回投げる時、

(ア) 3の倍数の目が4回出る確率

(イ) 3の倍数の目が4回以上出る確率

(ウ) 5回目に3度目の3の倍数の目が出る確率

をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、サイコロを1回投げたとき、3の倍数の目（3または6）が出る確率は $1/3$ である。3の倍数の目が出ない確率は $2/3$ である。

(ア) 3の倍数の目が4回出る確率

5回のうち4回が3の倍数で、残り1回は3の倍数ではない場合を考える。

これは二項分布に従うので、確率は以下の式で求められる。

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{}_5 \mathrm{C}_4 \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243}

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(イ) 3の倍数の目が4回以上出る確率

4回出る確率に、5回とも3の倍数が出る確率を足せば良い。

5回とも3の倍数が出る確率は

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{}_5 \mathrm{C}_5 \left(\frac{1}{3}\right)^5 \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{243}

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したがって、4回以上出る確率は

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\frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}

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(ウ) 5回目に3度目の3の倍数の目が出る確率

5回目に3回目が出るということは、最初の4回で2回3の倍数が出て、5回目に3の倍数が出れば良い。

最初の4回で2回3の倍数が出る確率は

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{}_4 \mathrm{C}_2 \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}

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5回目に3の倍数が出る確率は $\frac{1}{3}$。

したがって、求める確率は

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\frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{8}{81}

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3. 最終的な答え

(ア) $\frac{10}{243}$

(イ) $\frac{11}{243}$

(ウ) $\frac{8}{81}$