座標平面上の格子点に3種類の印（♡, ☆, ※）を記録し、「エクスペクト・パトロール」と唱えると、これらの印がそれぞれ確率で「臭いおじさん」または「コイン」に変わります。各印が臭いおじさんになる確率は問題文に示されています。縦または横に3つ連続で臭いおじさんが並んだ状態を「良い状態」、コインが並んだ状態を「悪い状態」と呼びます。与えられた各印の位置と、各印が臭いおじさんになる確率を用いて、以下の3つの問いに答えます。 (1) ♡=(2,0), (1,0), (-1,0), ※=(0,0) のとき、良い状態になる確率を求めます。 (2) ♡=(0,1), (0,-1), ☆=(1,0), (-1,0), ※=(0,0) のとき、良い状態または悪い状態になる確率を求めます。 (3) ♡=(0,1), (0,-1), ☆=(2,0), (1,0), (-1,0), ※=(0,0) のとき、良い状態になる確率を求めます。
2025/8/9
1. 問題の内容
座標平面上の格子点に3種類の印（♡, ☆, ※）を記録し、「エクスペクト・パトロール」と唱えると、これらの印がそれぞれ確率で「臭いおじさん」または「コイン」に変わります。各印が臭いおじさんになる確率は問題文に示されています。縦または横に3つ連続で臭いおじさんが並んだ状態を「良い状態」、コインが並んだ状態を「悪い状態」と呼びます。与えられた各印の位置と、各印が臭いおじさんになる確率を用いて、以下の3つの問いに答えます。
(1) ♡=(2,0), (1,0), (-1,0), ※=(0,0) のとき、良い状態になる確率を求めます。
(2) ♡=(0,1), (0,-1), ☆=(1,0), (-1,0), ※=(0,0) のとき、良い状態または悪い状態になる確率を求めます。
(3) ♡=(0,1), (0,-1), ☆=(2,0), (1,0), (-1,0), ※=(0,0) のとき、良い状態になる確率を求めます。
2. 解き方の手順
各問題に対して、以下のように確率を計算します。
(1) ♡=(2,0), (1,0), (-1,0), ※=(0,0) のとき、良い状態になる確率を求めます。
まず、各印が臭いおじさんになる確率を求めます。♡が臭いおじさんになる確率は3/4、※が臭いおじさんになる確率は2/3です。
良い状態とは、(2,0), (1,0), (0,0) にある印が全て臭いおじさんになる場合か、(1,0), (0,0), (-1,0)にある印が全て臭いおじさんになる場合のいずれかです。
(2,0), (1,0), (0,0) が全て臭いおじさんになる確率は、です。
(1,0), (0,0), (-1,0) が全て臭いおじさんになる確率は、です。
ただし、両方が同時に起こる確率は、です。
したがって、良い状態になる確率は、です。
(2) ♡=(0,1), (0,-1), ☆=(1,0), (-1,0), ※=(0,0) のとき、良い状態または悪い状態になる確率を求めます。
まず、各印が臭いおじさんになる確率を求めます。♡が臭いおじさんになる確率は3/4、☆が臭いおじさんになる確率は1/4、※が臭いおじさんになる確率は2/3です。
良い状態または悪い状態になる確率を求めるには、それ以外の状態になる確率を求めて、1から引く方が簡単です。
良い状態になるには、縦に(0,1), (0,0), (0,-1)の印が全て臭いおじさんでなければなりません。確率は、です。
悪い状態になるには、(0,1), (0,0), (0,-1)の印が全てコインでなければなりません。確率は、です。
それ以外は良い状態でも悪い状態でもありません。
全ての印がコインの場合、☆=(1,0), (-1,0), ※=(0,0) ですから、 (1,0), (0,0), (-1,0)が全てコインであれば悪い状態が発生します。
確率は、です。
問題は、良い状態と悪い状態の両方が同時に起こりえないことです。
3つの印が臭いおじさんとなる確率は、です。
3つの印がコインとなる確率は、です。
良い状態または悪い状態となる確率は、です。
(3) ♡=(0,1), (0,-1), ☆=(2,0), (1,0), (-1,0), ※=(0,0) のとき、良い状態になる確率を求めます。
縦に(0,1), (0,0), (0,-1)に臭いおじさんが並ぶ確率
横に(2,0),(1,0),(0,0)に臭いおじさんが並ぶ確率
横に(1,0),(0,0),(-1,0)に臭いおじさんが並ぶ確率
縦横に同時に並ぶことはないので、それぞれの確率を足し合わせます。
3. 最終的な答え
(1) 15/32
(2) 19/48
(3) 11/24