異なる6冊の医学書をA, B, Cの3人に譲渡する問題です。 (1) 3人が受け取る医学書の冊数の組が何通りあるか。ただし、3人それぞれ少なくとも1冊は譲渡されるものとします。 (2) それぞれに2冊ずつ譲渡するとき、医学書の分け方が全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

異なる6冊の医学書をA, B, Cの3人に譲渡する問題です。

(1) 3人が受け取る医学書の冊数の組が何通りあるか。ただし、3人それぞれ少なくとも1冊は譲渡されるものとします。

(2) それぞれに2冊ずつ譲渡するとき、医学書の分け方が全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

まず、3人に少なくとも1冊ずつ渡す必要があるので、残りの3冊をどのように配るかを考えます。

考えられるパターンは以下の通りです。

* (3, 0, 0)の並び替え: これは3人とも少なくとも1冊という条件に反します。

* (2, 1, 0)の並び替え: これも3人とも少なくとも1冊という条件に反します。

* (1, 1, 1)

* (2, 1, 0)の並び替え：これはありえません。なぜなら、すでに全員に1冊ずつ配られているからです。残りの3冊は、(3,0,0), (2,1,0), (1,1,1)のいずれかで配る必要があります。

* (3, 0, 0)型は、3人に少なくとも1冊という条件を満たさないので、ありえません。

* (2, 1, 0)型も、3人に少なくとも1冊という条件を満たさないので、ありえません。

したがって、3人に1冊ずつ配った後、残りの3冊の配り方は以下の通りです。

(3, 0, 0) : これはありえません。すでに3人に1冊ずつ配られているからです。

(2, 1, 0) : これも同様です。

(1, 1, 1) : これだけが考えられます。

最初に3人に1冊ずつ配り、次に残りの3冊を3人に配ることを考えると、

(i) 3人それぞれに1冊ずつ渡す場合: (1+1, 1+1, 1+1) = (2, 2, 2)

(ii) 1人に3冊、残りの2人は1冊ずつ渡す場合: (1+3, 1, 1) = (4, 1, 1)

(iii) 1人に2冊、別の1人に1冊、最後の1人は1冊渡す場合: (1+2, 1+1, 1) = (3, 2, 1)

まず、(2, 2, 2)になるのは、1つのパターンだけです。

次に、(4, 1, 1)になるのは、3通りの並べ方があります。Aが4冊の時、Bが4冊の時、Cが4冊の時です。

最後に、(3, 2, 1)になるのは、3! = 6通りの並べ方があります。

よって、1 + 3 + 6 = 10通りです。

(2)

6冊からAに渡す2冊を選ぶ方法は ${}_6 C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通りです。

残りの4冊からBに渡す2冊を選ぶ方法は ${}_4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

残りの2冊はCに渡すので、${}_2 C_2 = 1$通りです。

したがって、医学書の分け方は $15 \times 6 \times 1 = 90$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 10通り

(2) 90通り