(1) 成功率が1/3の選手が3回の試技で成功する確率を求める。 (2) 3回の試技で成功したとき、2回目の試技で初めて成功する確率を求める。

1. 問題の内容

(1) 成功率が1/3の選手が3回の試技で成功する確率を求める。

(2) 3回の試技で成功したとき、2回目の試技で初めて成功する確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

3回の試技で成功する確率を求めます。

成功する確率が1/3なので、3回とも失敗する確率は(2/3)*(2/3)*(2/3) = 8/27 です。

3回中少なくとも1回成功する確率は、1から3回とも失敗する確率を引けば良いです。

$1 - \frac{8}{27} = \frac{27}{27} - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}$

(2)

3回の試技で成功し、かつ2回目で初めて成功する確率は、1回目が失敗し、2回目が成功し、3回目が成功または失敗である確率を意味します。

1回目が失敗する確率: 2/3

2回目が成功する確率: 1/3

3回目が成功する確率: 1/3

3回目が失敗する確率: 2/3

つまり、2回目で初めて成功するパターンは、

失敗→成功→成功(1/9)と、失敗→成功→失敗(2/27)の2パターンあります。

この合計を求めると、

2回目の試技で初めて成功する確率は、 $\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{27} + \frac{4}{27} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$

3回中少なくとも1回成功する確率が$\frac{19}{27}$なので、条件付き確率は

$\frac{2/9}{19/27} = \frac{2}{9} \times \frac{27}{19} = \frac{2}{1} \times \frac{3}{19} = \frac{6}{19}$

3. 最終的な答え

(1) 19/27

(2) 6/19