(1) 5人の生徒の1日あたりの睡眠時間が $6, 6, 7, 9, a$ 時間である。このデータの平均値が7時間のとき、$a$ を求める。 (2) 6人の生徒の身長が $165, 158, 162, 170, 163, 172$ cm である。この身長の中央値を求める。 (3) あるゲームを行ったときの7人の得点が $6, 2, 3, 4, 1, 8, a$ 点である。このデータの範囲が8のとき、$a$ を求める。 (4) $9, 7, 9, 9, 10, 4$ のデータの標準偏差を求める。 (5) 2つの変量 $x, y$ からなるデータが表で与えられている。$x$ と $y$ の相関係数を求める。

1. 問題の内容

(1) 5人の生徒の1日あたりの睡眠時間が $6, 6, 7, 9, a$ 時間である。このデータの平均値が7時間のとき、$a$ を求める。

(2) 6人の生徒の身長が $165, 158, 162, 170, 163, 172$ cm である。この身長の中央値を求める。

(3) あるゲームを行ったときの7人の得点が $6, 2, 3, 4, 1, 8, a$ 点である。このデータの範囲が8のとき、$a$ を求める。

(4) $9, 7, 9, 9, 10, 4$ のデータの標準偏差を求める。

(5) 2つの変量 $x, y$ からなるデータが表で与えられている。$x$ と $y$ の相関係数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平均の計算式を使う。

平均 = (データの合計) / (データの個数) より、

$7 = (6 + 6 + 7 + 9 + a) / 5$

$35 = 28 + a$

$a = 35 - 28$

$a = 7$

(2) まず、データを小さい順に並べ替える。

$158, 162, 163, 165, 170, 172$

データの個数が偶数なので、中央の2つの値 ($163$ と $165$) の平均が中央値となる。

中央値 $= (163 + 165) / 2 = 328 / 2 = 164$

(3) データの範囲は (最大値) - (最小値) である。

与えられたデータ $6, 2, 3, 4, 1, 8, a$ を小さい順に並べると $1, 2, 3, 4, 6, 8, a$ もしくは $a$ がどこかに入る。

最大値が8のとき、範囲が8となるには最小値が0になる必要があるが、データの中に0は存在しない。よって、$a$が最大値か最小値になる場合を考える。

$a$ が最大値の場合：

$a - 1 = 8$

$a = 9$

$a$ が最小値の場合：

$8 - a = 8$

$a = 0$

データの中に0がないので、$a=9$となる。$a$ がデータの中でどの位置に来るかは、他の値との大小関係で決まる。

(4) 標準偏差を求める。

まず平均を計算する: $(9 + 7 + 9 + 9 + 10 + 4) / 6 = 48 / 6 = 8$

次に、各データと平均の差の2乗を計算する:

$(9-8)^2 = 1$

$(7-8)^2 = 1$

$(9-8)^2 = 1$

$(9-8)^2 = 1$

$(10-8)^2 = 4$

$(4-8)^2 = 16$

これらの合計は $1 + 1 + 1 + 1 + 4 + 16 = 24$

分散は合計をデータ数で割ったもの: $24 / 6 = 4$

標準偏差は分散の平方根: $\sqrt{4} = 2$

(5) $x$ と $y$ の相関係数を求める。

まず、$x$ と $y$ の平均を計算する。

$\bar{x} = (10 + 7 + 8 + 9 + 6) / 5 = 40 / 5 = 8$

$\bar{y} = (3 + 4 + 5 + 2 + 6) / 5 = 20 / 5 = 4$

次に、$x$ と $y$ の偏差を計算する。

$x - \bar{x} = 2, -1, 0, 1, -2$

$y - \bar{y} = -1, 0, 1, -2, 2$

$x$ と $y$ の偏差の積を計算する。

$(x - \bar{x})(y - \bar{y}) = -2, 0, 0, -2, -4$

偏差の積の合計を計算する。

$\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) = -2 + 0 + 0 - 2 - 4 = -8$

$x$ と $y$ の偏差の二乗の合計を計算する。

$\sum (x - \bar{x})^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$

$\sum (y - \bar{y})^2 = 1 + 0 + 1 + 4 + 4 = 10$

相関係数 $r$ は次のように計算される。

$r = \frac{\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x - \bar{x})^2 \sum (y - \bar{y})^2}} = \frac{-8}{\sqrt{10 \cdot 10}} = \frac{-8}{10} = -0.8$

3. 最終的な答え

(1) $a = 7$

(2) $164$ cm

(3) $a = 9$

(4) $2$

(5) $-0.8$