10個のデータ：4, 10, 15, 3, 41, 7, 30, 28, a, b (ただし、$a<b$) が与えられている。このデータの第1四分位数が6歳、第2四分位数（中央値）が11歳、第3四分位数が28歳であるとき、$a$と$b$の値を求める。

1. 問題の内容

10個のデータ：4, 10, 15, 3, 41, 7, 30, 28, a, b (ただし、$a<b$) が与えられている。このデータの第1四分位数が6歳、第2四分位数（中央値）が11歳、第3四分位数が28歳であるとき、$a$と$b$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられたデータを小さい順に並べ替える。a < bという条件に注意しながら、並べ替える：

3, 4, 7, 10, 15, 28, 30, 41, a, b または

3, 4, 7, 10, 15, 28, a, 30, 41, b または

3, 4, 7, 10, a, 15, 28, 30, 41, b など様々なパターンが考えられる。

データの個数が10個なので、第1四分位数は小さい方から2.5番目の値、第2四分位数（中央値）は5番目と6番目の値の平均、第3四分位数は大きい方から2.5番目の値となる。

・第1四分位数: データの小さい順に並べたとき、$\frac{10}{4} = 2.5$ 番目の値が第1四分位数となる。これは小さい方から3番目の値となる。第1四分位数は6歳なので、小さい方から3番目の値が6である。

・第2四分位数: データの小さい順に並べたとき、$\frac{10}{2} = 5$ 番目と6番目の値の平均が第2四分位数となる。第2四分位数は11歳なので、5番目と6番目の値の平均が11である。

・第3四分位数: データの小さい順に並べたとき、$10 - \frac{10}{4} = 7.5$ より、大きい方から2.5番目の値となる。これは大きい方から3番目の値となる。第3四分位数は28歳なので、大きい方から3番目の値が28である。

データの並びを考えると、

3, 4, a, 7, 10, 15, 28, 30, 41, b の場合、並べ替え後の3番目の値はa。したがって、$a=6$ 。

データの並びを考えると、

3, 4, 7, a, 10, 15, 28, 30, 41, b の場合、並べ替え後の3番目の値は7。したがって、$a < 7$

3, 4, 7, 10, a, 15, 28, 30, 41, b の場合、並べ替え後の3番目の値は7。したがって、$a < 7$

並べ替えたデータは: 3, 4, 7, 10, 15, 28, 30, 41, a, bではない。

並び替え後のデータが: 3, 4, 7, 10, a, 15, 28, 30, b, 41

3, 4, a, 7, 10, 15, 28, 30, b, 41

3, 4, 7, a, 10, 15, 28, 30, b, 41

3, 4, 7, 10, a, 15, b, 28, 30, 41

3, 4, 7, 10, 15, a, b, 28, 30, 41　　ではない。

3, 4, 7, 10, 15, 28, 30, a, b, 41 ではない

3, 4, 7, 10, 15, a, 28, b, 30, 41　　ではない

3, 4, 7, 10, 15, a, b, 28, 30, 41　　ではない

並べ替えたデータは: 3, 4, 7, 10, 15, 28, 30, 41, a, bではない。

3, 4, 7, 10, 15, 28, 30, a, b, 41

3, 4, 6, 7, 10, 15, 28, 30, 41, b

5番目と6番目の値の平均は11なので、$\frac{10 + 15}{2} = 12.5$ でない。

$\frac{10 + a}{2} = 11$ のとき $10 + a = 22$ より、$a = 12$

$\frac{a + 15}{2} = 11$ のとき $a + 15 = 22$ より、$a = 7$ 。しかしこれは矛盾。

したがって、並びは、3, 4, 7, 10, a, 15, 28, 30, 41, bではない。

小さい順に並べ替えたデータは、3, 4, 7, 10, 15, 28, 30, 41, a, bではない。

正しい並びは、3, 4, 7, 10, a, 15, 28, 30, b, 41ではない。

中央値が11なので、$\frac{5番目の値 + 6番目の値}{2}=11$ である必要がある。

また、並び替えたデータで大きい方から3番目の値は28である。

aとbを除いた並べ替えを考える。3, 4, 7, 10, 15, 28, 30, 41。

考えられる並びは以下の通り。

3, 4, a, 7, 10, 15, 28, 30, 41, b (a<7)

3, 4, 7, a, 10, 15, 28, 30, 41, b (7<a<10)

3, 4, 7, 10, a, 15, 28, 30, 41, b (10<a<15)

3, 4, 7, 10, 15, a, 28, 30, 41, b (15<a<28)

3, 4, 7, 10, 15, 28, a, 30, 41, b (28<a<30)

...

・ a<7の場合：3, 4, a, 7, 10, 15, 28, 30, 41, b 3番目の値は a=6, 5番目と6番目の値は 10, 15 → (10+15)/2 = 12.5 ≠ 11

・ 7<a<10の場合：3, 4, 7, a, 10, 15, 28, 30, 41, b 5番目と6番目の値は 10, 15 → (10+15)/2 = 12.5 ≠ 11

・ 10<a<15の場合：3, 4, 7, 10, a, 15, 28, 30, 41, b 5番目と6番目の値は a, 15 → (a+15)/2 = 11 → a = 7 (矛盾)

・ 15<a<28の場合：3, 4, 7, 10, 15, a, 28, 30, 41, b 5番目と6番目の値は 15, a → (15+a)/2 = 11 → a = 7 (矛盾)

・ 28<a<30の場合：3, 4, 7, 10, 15, 28, a, 30, 41, b 大きい方から3番目の値は 30 → 矛盾。

問題文より、最頻値が6歳なので、データの中に6が複数個ある必要がある。

しかし、与えられたデータの中には6は存在しないため、aまたはbが6である必要がある。

また、a<bなので、a=6である。

並び替えたデータは、3, 4, 6, 7, 10, 15, 28, 30, 41, b

中央値が11なので、$\frac{10+15}{2}=12.5 \neq 11$ なので、並びが違う。

3, 4, 6, 7, 10, 15, 28, 30, 41, b

3, 4, 6, 7, 10, 15, 28, 30, b, 41

3, 4, 6, 7, 10, 15, 28, b, 30, 41

3, 4, 6, 7, 10, 15, b, 28, 30, 41

3, 4, 6, 7, 10, b, 15, 28, 30, 41

3, 4, 6, 7, 10, 15, 28, 30, b, 41

(10+15)/2 = 12.5

3, 4, 6, 7, 10, 15, 28, b, 30, 41

(10+15)/2 = 12.5

3, 4, 6, 7, 10, 15, b, 28, 30, 41

(10+15)/2 = 12.5

3, 4, 6, 7, 10, b, 15, 28, 30, 41

(10+b)/2=11 → b = 12

大きい方から3番目の値が28なのでbは30より小さい。

並び替えたデータは: 3, 4, 6, 7, 10, 15, b, 28, 30, 41

したがって、a = 6, b = 12

3. 最終的な答え

$a = 6$

$b = 12$