1つのサイコロを5回投げる試行において、以下の確率を求める問題です。 ア: 3の倍数の目が4回出る確率 イ: 3の倍数の目が4回以上出る確率 ウ: 5回目に3度目の3の倍数の目が出る確率

1. 問題の内容

1つのサイコロを5回投げる試行において、以下の確率を求める問題です。

ア: 3の倍数の目が4回出る確率

イ: 3の倍数の目が4回以上出る確率

ウ: 5回目に3度目の3の倍数の目が出る確率

2. 解き方の手順

ア: 3の倍数の目が4回出る確率

サイコロを1回振って3の倍数の目（3または6）が出る確率は $1/3$ です。したがって、3の倍数が出ない確率は $2/3$ です。5回中4回3の倍数の目が出る確率は、二項分布を用いて計算できます。

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P(X=4) = \binom{5}{4} \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243}

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イ: 3の倍数の目が4回以上出る確率

3の倍数の目が4回出る確率と5回出る確率の合計を計算します。

5回中5回3の倍数の目が出る確率は、

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P(X=5) = \binom{5}{5} \left(\frac{1}{3}\right)^5 \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{243}

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したがって、4回以上出る確率は、

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P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5) = \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}

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ウ: 5回目に3度目の3の倍数の目が出る確率

5回目に3度目の3の倍数の目が出るということは、最初の4回で3の倍数の目がちょうど2回出て、5回目に3の倍数の目が出ればよいです。

最初の4回で3の倍数の目が2回出る確率は、

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P(Y=2) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}

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5回目に3の倍数の目が出る確率は $1/3$ です。

したがって、求める確率は、

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P = \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} = \frac{8}{81}

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3. 最終的な答え

ア: 10/243

イ: 11/243

ウ: 8/81