5人でじゃんけんをするとき、以下の確率を求めます。 (1) 1回のじゃんけんで、3人が勝ち、2人が負ける確率 (2) 1回のじゃんけんで、あいこになる確率

1. 問題の内容

5人でじゃんけんをするとき、以下の確率を求めます。

(1) 1回のじゃんけんで、3人が勝ち、2人が負ける確率

(2) 1回のじゃんけんで、あいこになる確率

2. 解き方の手順

(1) 3人が勝ち、2人が負ける確率

まず、5人の中から3人の勝者を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは二項係数で表され、${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

次に、グー、チョキ、パーのどれで勝つかを決めます。これは3通りあります。

勝つ手が決まれば、負ける手も自動的に決まります。例えば、勝つ手がグーなら、負ける手はチョキです。

したがって、3人が勝ち、2人が負ける場合の数は、$10 \times 3 = 30$通りです。

5人のじゃんけんの手の出し方は全部で、$3^5 = 243$通りです。

したがって、3人が勝ち、2人が負ける確率は、$\frac{30}{243} = \frac{10}{81}$となります。

(2) あいこになる確率

あいこになるのは、全員が同じ手を出すか、3種類の手すべてが出た場合です。

* 全員が同じ手を出す場合: グー、チョキ、パーの3通りです。

* 3種類の手すべてが出た場合:

まず、手の組み合わせを考えます。5人の手が3種類になる組み合わせは、(3,1,1)または(2,2,1)のいずれかです。

(i) (3,1,1)の場合:

5人から3人を選ぶ方法: ${}_5C_3 = 10$通り。

残りの2人から1人を選ぶ方法: ${}_2C_1 = 2$通り。

残りの1人は自動的に決まります。

3種類の手に割り当てる方法: $3! = 6$通り。

この場合、手の組み合わせは$10 \times 2 \times 6 = 120$通り

(ii) (2,2,1)の場合:

5人から1人を選ぶ方法: ${}_5C_1 = 5$通り。

残りの4人から2人を選ぶ方法: ${}_4C_2 = 6$通り。

残りの2人は自動的に決まります。

3種類の手に割り当てる方法: $3! / 2 = 3$通り（2人ずつが同じ手を出すので、同じ手が2つの並び順を区別しない）。

この場合、手の組み合わせは$5 \times 6 \times 3 = 90$通り

したがって、あいこの場合の数は、$3 + 120 + 90 = 213$通りです。

ただし、これは少し違います。

3種類の手が出るときは、必ずあいこになります。3種類の手が出る確率を考えます。

3種類の手が出ない確率 = (グーとチョキだけが出る確率) + (グーとパーだけが出る確率) + (チョキとパーだけが出る確率) - (全員がグーを出す確率) - (全員がチョキを出す確率) - (全員がパーを出す確率)

= 3 * (2^5 - 2) / 3^5 = 3*(32-2) / 243 = 90/243 = 30/81 = 10/27

あいこになる確率 = (全員が同じ手を出す確率) + (3種類の手が出る確率)

全員が同じ手を出す確率は、3/243 = 1/81

3種類の手が出る確率は 1 - (グーだけ、チョキだけ、パーだけ、グーとチョキだけ、グーとパーだけ、チョキとパーだけ) = 1 - (3/243) - (30/81) = 1 - 1/81 - 10/27 = (81 - 1 - 30) / 81 = 50 / 81

あいこになる確率は 1/81 + 50/81 = 51/81 = 17/27

3. 最終的な答え

(1) 3人が勝ち、2人が負ける確率：$\frac{10}{81}$

(2) あいこになる確率：$\frac{17}{27}$