3個の赤玉と$n$個の白玉を円形に並べる。白玉が連続して$k+1$個以上並んだ箇所が現れない確率を求める。ただし、$\frac{n}{3} \leq k < \frac{n}{2}$とする。

1. 問題の内容

3個の赤玉と$n$個の白玉を円形に並べる。白玉が連続して$k+1$個以上並んだ箇所が現れない確率を求める。ただし、$\frac{n}{3} \leq k < \frac{n}{2}$とする。

2. 解き方の手順

まず、全事象の場合の数を求める。これは円順列なので、$(n+3-1)!$を同じものを含む順列の数で割ったものとなる。

全事象の数は $\frac{(n+2)!}{n!3!} = \frac{(n+2)(n+1)n!}{6n!} = \frac{(n+2)(n+1)}{6}$。

次に、白玉が$k+1$個以上連続して並ばない場合の数を求める。

まず、3個の赤玉を円形に並べる。このとき、赤玉と赤玉の間には3つの場所ができる。

この3つの場所に白玉を並べる。それぞれの場所に並べる白玉の数を$x_1, x_2, x_3$とする。

このとき、$x_1 + x_2 + x_3 = n$であり、$0 \leq x_i \leq k$である。

$x_i$が$k+1$以上になることがない場合の数を求める。

まず、$x_i \geq 0$の条件のみを考える。このとき、条件を満たす組み合わせは、重複組み合わせを用いて$_{3}H_{n} = \binom{n+3-1}{3-1} = \binom{n+2}{2}$となる。

次に、$x_1 \geq k+1$となる場合を考える。$x_1' = x_1 - (k+1)$とおくと、$x_1' + x_2 + x_3 = n - (k+1)$であり、$x_1', x_2, x_3 \geq 0$となる。

このとき、組み合わせの数は$_{3}H_{n-k-1} = \binom{n-k-1+3-1}{3-1} = \binom{n-k+1}{2}$となる。

同様に、$x_2 \geq k+1$となる場合と$x_3 \geq k+1$となる場合も$\binom{n-k+1}{2}$となる。

次に、$x_1 \geq k+1$かつ$x_2 \geq k+1$となる場合を考える。$x_1' = x_1 - (k+1), x_2' = x_2 - (k+1)$とおくと、$x_1' + x_2' + x_3 = n - 2(k+1)$であり、$x_1', x_2', x_3 \geq 0$となる。

このとき、組み合わせの数は$_{3}H_{n-2k-2} = \binom{n-2k-2+3-1}{3-1} = \binom{n-2k}{2}$となる。

同様に、$x_1 \geq k+1$かつ$x_3 \geq k+1$となる場合と、$x_2 \geq k+1$かつ$x_3 \geq k+1$となる場合も$\binom{n-2k}{2}$となる。

$x_1 \geq k+1, x_2 \geq k+1, x_3 \geq k+1$となる場合は、$k < \frac{n}{2}$より、$n - 3(k+1) < n - 3(\frac{n}{2}+1) = -\frac{n}{2} - 3 < 0$なので、ありえない。

したがって、求める場合の数は$\binom{n+2}{2} - 3\binom{n-k+1}{2} + 3\binom{n-2k}{2}$となる。

求める確率は、$\frac{\binom{n+2}{2} - 3\binom{n-k+1}{2} + 3\binom{n-2k}{2}}{\binom{n+2}{2}} = 1 - \frac{3\binom{n-k+1}{2} - 3\binom{n-2k}{2}}{\binom{n+2}{2}}$となる。

$\binom{n+2}{2} = \frac{(n+2)(n+1)}{2}, \binom{n-k+1}{2} = \frac{(n-k+1)(n-k)}{2}, \binom{n-2k}{2} = \frac{(n-2k)(n-2k-1)}{2}$なので、

$1 - \frac{3[(n-k+1)(n-k) - (n-2k)(n-2k-1)]}{(n+2)(n+1)} = 1 - \frac{3[n^2 - nk + n - nk + k^2 - k - (n^2 - 2nk - n - 2nk + 4k^2 + 2k)]}{(n+2)(n+1)} = 1 - \frac{3[n^2 - 2nk + n + k^2 - k - n^2 + 4nk + n - 4k^2 - 2k]}{(n+2)(n+1)} = 1 - \frac{3[2nk + 2n - 3k^2 - 3k]}{(n+2)(n+1)} = 1 - \frac{3[2n(k+1) - 3k(k+1)]}{(n+2)(n+1)} = 1 - \frac{3(2n-3k)(k+1)}{(n+2)(n+1)}$

3. 最終的な答え

$1 - \frac{3(2n-3k)(k+1)}{(n+1)(n+2)}$