右図のような道があり、点Pから点Qまで最短経路を進む。 (1) 最短経路である1つの道を選ぶことが同様に確からしいとして、点Rを通る確率を求めよ。 (2) 各交差点で上へ行くか右へ行くかが同様に確からしいとして、点Rを通る確率を求めよ。

1. 問題の内容

右図のような道があり、点Pから点Qまで最短経路を進む。

(1) 最短経路である1つの道を選ぶことが同様に確からしいとして、点Rを通る確率を求めよ。

(2) 各交差点で上へ行くか右へ行くかが同様に確からしいとして、点Rを通る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

PからQへの最短経路は全部で $\frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通りある。

PからRへの最短経路は $\frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$ 通り。

RからQへの最短経路は $\frac{3!}{1!2!} = \frac{3 \times 2}{2} = 3$ 通り。

したがって、PからRを通りQへ行く最短経路は $3 \times 3 = 9$ 通り。

よって、求める確率は $\frac{9}{20}$。

(2)

PからRへ行く確率は、上、上、右、右という移動が必要である。

上に行く確率も右に行く確率も$\frac{1}{2}$だから、PからRへ行く確率は

${}_4C_2 \times (\frac{1}{2})^2 \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{4!}{2!2!} \times (\frac{1}{2})^4 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

RからQへ行く確率は、上、右、右という移動が必要である。

上に行く確率も右に行く確率も$\frac{1}{2}$だから、RからQへ行く確率は

${}_3C_1 \times (\frac{1}{2})^1 \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{3!}{1!2!} \times (\frac{1}{2})^3 = \frac{3 \times 2}{2} \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

したがって、PからRを通りQへ行く確率は $\frac{3}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{9}{64}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9}{20}$

(2) $\frac{9}{64}$