右図のような道があるとき、点Pから点Qまで最短経路を進むことを考える。このとき、以下の問題を解く。 (2) 各交差点で上へ行くか右へ行くかが同様に確からしいとして、点Rを通る確率を求めよ。

1. 問題の内容

右図のような道があるとき、点Pから点Qまで最短経路を進むことを考える。このとき、以下の問題を解く。

(2) 各交差点で上へ行くか右へ行くかが同様に確からしいとして、点Rを通る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

点Pから点Qまで最短経路で進むためには、右に3回、上に2回移動する必要がある。

点Pから点Rまで最短経路で進むためには、右に2回、上に1回移動する必要がある。

点Rから点Qまで最短経路で進むためには、右に1回、上に1回移動する必要がある。

各交差点で上に行くか右に行くかの確率はそれぞれ1/2である。

PからRへ行く確率は、右に2回、上に1回行く経路の数 $\times (\frac{1}{2})^3$ で求められる。

PからRへ行く経路の数は、3回の移動のうち上に移動する1回を選ぶ組み合わせなので、${}_3C_1 = 3$ 通り。

したがって、PからRへ行く確率は $3 \times (\frac{1}{2})^3 = \frac{3}{8}$

RからQへ行く確率は、右に1回、上に1回行く経路の数 $\times (\frac{1}{2})^2$ で求められる。

RからQへ行く経路の数は、2回の移動のうち上に移動する1回を選ぶ組み合わせなので、${}_2C_1 = 2$ 通り。

したがって、RからQへ行く確率は $2 \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

PからRを通ってQへ行く確率は、PからRへ行く確率とRからQへ行く確率の積で求められる。

したがって、求める確率は $\frac{3}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{16}$