61番の問題は、15本のくじの中に当たりが4本入っているくじを、AさんとBさんが順番に引く問題です。ただし、引いたくじは元に戻さないものとします。 (1) Aが当たったとき、Bが当たる条件付き確率を求めます。 (2) AもBも当たる確率を求めます。 (3) Bが当たる確率を求めます。 62番の問題は、赤玉2個と青玉3個が入った袋から玉を1個取り出す操作を2回繰り返す問題です。ただし、赤玉なら袋に戻し、青玉なら戻さないとします。 (1) 1回目に青玉、2回目に赤玉を取り出す確率を求めます。 (2) 2回目に赤玉を取り出す確率を求めます。 (3) 2回目に取り出した玉が赤玉であったとき、1回目に取り出した玉が青玉である確率を求めます。

1. 問題の内容

61番の問題は、15本のくじの中に当たりが4本入っているくじを、AさんとBさんが順番に引く問題です。ただし、引いたくじは元に戻さないものとします。

(1) Aが当たったとき、Bが当たる条件付き確率を求めます。

(2) AもBも当たる確率を求めます。

(3) Bが当たる確率を求めます。

62番の問題は、赤玉2個と青玉3個が入った袋から玉を1個取り出す操作を2回繰り返す問題です。ただし、赤玉なら袋に戻し、青玉なら戻さないとします。

(1) 1回目に青玉、2回目に赤玉を取り出す確率を求めます。

(2) 2回目に赤玉を取り出す確率を求めます。

(3) 2回目に取り出した玉が赤玉であったとき、1回目に取り出した玉が青玉である確率を求めます。

2. 解き方の手順

**61番**

(1) Aが当たったとき、残りのくじは14本で、当たりは3本です。したがって、Bが当たる条件付き確率は、

$P(B|A) = \frac{3}{14}$

(2) AもBも当たる確率は、Aが当たり、かつBが当たる確率なので、

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{4}{15} \cdot \frac{3}{14} = \frac{12}{210} = \frac{2}{35}$

(3) Bが当たる確率は、Aが当たってBが当たる場合と、Aが外れてBが当たる場合の和です。

Aが外れてBが当たる確率は、

$P(A^c \cap B) = P(A^c) \cdot P(B|A^c) = \frac{11}{15} \cdot \frac{4}{14} = \frac{44}{210}$

したがって、Bが当たる確率は、

$P(B) = P(A \cap B) + P(A^c \cap B) = \frac{12}{210} + \frac{44}{210} = \frac{56}{210} = \frac{4}{15}$

**62番**

(1) 1回目に青玉、2回目に赤玉を取り出す確率は、

$P(\text{1回目青, 2回目赤}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

(2) 2回目に赤玉を取り出す確率は、1回目に赤玉を取り出して2回目に赤玉を取り出す場合と、1回目に青玉を取り出して2回目に赤玉を取り出す場合の和です。

1回目に赤玉を取り出して2回目に赤玉を取り出す確率は、

$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{25}$

したがって、2回目に赤玉を取り出す確率は、

$P(\text{2回目赤}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{2}{25} + \frac{3}{10} = \frac{4}{50} + \frac{15}{50} = \frac{19}{50}$

(3) 2回目に取り出した玉が赤玉であったとき、1回目に取り出した玉が青玉である確率は、条件付き確率で表されます。

$P(\text{1回目青} | \text{2回目赤}) = \frac{P(\text{1回目青} \cap \text{2回目赤})}{P(\text{2回目赤})} = \frac{\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}}{\frac{19}{50}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{19}{50}} = \frac{3}{10} \cdot \frac{50}{19} = \frac{150}{190} = \frac{15}{19}$

3. 最終的な答え

**61番**

(1) $\frac{3}{14}$

(2) $\frac{2}{35}$

(3) $\frac{4}{15}$

**62番**

(1) $\frac{3}{10}$

(2) $\frac{19}{50}$

(3) $\frac{15}{19}$