赤玉11個、白玉5個、青玉2個が入った袋から玉を1個取り出す。取り出した玉が赤玉の場合は2点、白玉の場合は6点、青玉の場合は10点が得られるとき、得られる点数の期待値を求めよ。

## 63 (1) の問題

1. 問題の内容

赤玉11個、白玉5個、青玉2個が入った袋から玉を1個取り出す。取り出した玉が赤玉の場合は2点、白玉の場合は6点、青玉の場合は10点が得られるとき、得られる点数の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

期待値を求めるには、各点数が得られる確率と、その点数を掛け合わせたものをすべて足し合わせます。

- 赤玉が出る確率は $11/ (11+5+2) = 11/18$

- 白玉が出る確率は $5/ (11+5+2) = 5/18$

- 青玉が出る確率は $2/ (11+5+2) = 2/18 = 1/9$

したがって、期待値は次のようになります。

$2 \times (11/18) + 6 \times (5/18) + 10 \times (2/18)$

$= 22/18 + 30/18 + 20/18$

$= 72/18$

$= 4$

3. 最終的な答え

得られる点数の期待値は4点です。

## 63 (2) の問題

1. 問題の内容

1000本のくじがあり、1000円の当たりくじが1本、500円の当たりくじが10本、100円の当たりくじが100本、それ以外は0円のはずれくじである。このくじを1本引くとき、賞金額の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

期待値を求めるには、各賞金額が得られる確率と、その賞金額を掛け合わせたものをすべて足し合わせます。

- 1000円当たる確率は $1/1000$

- 500円当たる確率は $10/1000 = 1/100$

- 100円当たる確率は $100/1000 = 1/10$

- 0円である確率は $(1000 - 1 - 10 - 100) / 1000 = 889/1000$

したがって、期待値は次のようになります。

$1000 \times (1/1000) + 500 \times (10/1000) + 100 \times (100/1000) + 0 \times (889/1000)$

$= 1 + 5 + 10 + 0$

$= 16$

3. 最終的な答え

賞金額の期待値は16円です。

## 64 の問題

1. 問題の内容

こづかいのもらい方について、次の3通りの方法を検討している。

[1] 確実に100円ずつもらう。

[2] コインを1枚投げて、表が出たら140円、裏が出たら40円もらう。

[3] さいころを1個投げて、1の目が出たら360円、その他の目が出たら50円もらう。

[1]～[3]のいずれかを選ぶとき、どの方法がもらう方にとって最も有利と考えられるか。期待値を計算して判断せよ。

2. 解き方の手順

各方法の期待値を計算します。

[1] 確実に100円もらう

期待値は100円です。

[2] コインを投げる

表が出る確率は $1/2$、裏が出る確率は $1/2$なので、期待値は、

$140 \times (1/2) + 40 \times (1/2) = 70 + 20 = 90$円です。

[3] さいころを投げる

1の目が出る確率は $1/6$、その他の目が出る確率は $5/6$なので、期待値は、

$360 \times (1/6) + 50 \times (5/6) = 60 + 250/6 = 60 + 125/3 = (180 + 125)/3 = 305/3 \approx 101.67$円です。

3. 最終的な答え

[1]の期待値は100円、[2]の期待値は90円、[3]の期待値は約101.67円なので、[3]の方法が最も有利と考えられます。