3つの箱A, B, Cがある。箱Aには赤玉が3個、白玉が2個入っている。箱Bには赤玉が3個、白玉が4個入っている。箱Cには玉が入っていない。A, Bからそれぞれ1個ずつ玉を取り出し、色を確かめずに箱Cに入れたとき、以下の確率を求める。 (1) 箱Cに赤玉が含まれる確率 (2) 箱Cから1つの玉を取り出したとき、それが赤玉である確率 (3) 箱Cから1つの玉を取り出したとき、それが赤玉であったとする。このとき、この赤玉が箱Aに入っていた赤玉である確率

1. 問題の内容

3つの箱A, B, Cがある。箱Aには赤玉が3個、白玉が2個入っている。箱Bには赤玉が3個、白玉が4個入っている。箱Cには玉が入っていない。A, Bからそれぞれ1個ずつ玉を取り出し、色を確かめずに箱Cに入れたとき、以下の確率を求める。

(1) 箱Cに赤玉が含まれる確率

(2) 箱Cから1つの玉を取り出したとき、それが赤玉である確率

(3) 箱Cから1つの玉を取り出したとき、それが赤玉であったとする。このとき、この赤玉が箱Aに入っていた赤玉である確率

2. 解き方の手順

(1) 箱Cに赤玉が含まれる確率

箱Cに赤玉が含まれないのは、A, Bからそれぞれ白玉を取り出す場合である。

Aから白玉を取り出す確率は $\frac{2}{5}$。

Bから白玉を取り出す確率は $\frac{4}{7}$。

したがって、A, Bからそれぞれ白玉を取り出す確率は $\frac{2}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{8}{35}$。

箱Cに赤玉が含まれる確率は、1からこの確率を引いたものなので、 $1 - \frac{8}{35} = \frac{27}{35}$。

(2) 箱Cから1つの玉を取り出したとき、それが赤玉である確率

A, Bから取り出す玉の組み合わせは以下の4通り。

- Aから赤玉、Bから赤玉：確率 $\frac{3}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{9}{35}$

- Aから赤玉、Bから白玉：確率 $\frac{3}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{12}{35}$

- Aから白玉、Bから赤玉：確率 $\frac{2}{5} \times \frac{3}{7} = \frac{6}{35}$

- Aから白玉、Bから白玉：確率 $\frac{2}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{8}{35}$

箱Cから赤玉を取り出す確率は、上記の最初の3つの組み合わせの確率の合計に等しい。

$\frac{9}{35} + \frac{12}{35} + \frac{6}{35} = \frac{27}{35}$

(3) 箱Cから1つの玉を取り出したとき、それが赤玉であったとする。このとき、この赤玉が箱Aに入っていた赤玉である確率

これは条件付き確率の問題である。

求める確率は、$P(\text{Aから赤玉} | \text{箱Cから赤玉})$ である。

ベイズの定理より、

$P(\text{Aから赤玉} | \text{箱Cから赤玉}) = \frac{P(\text{箱Cから赤玉} | \text{Aから赤玉}) \times P(\text{Aから赤玉})}{P(\text{箱Cから赤玉})}$

$P(\text{Aから赤玉}) = \frac{3}{5}$

$P(\text{箱Cから赤玉}) = \frac{27}{35}$（上記(2)で計算済み）

$P(\text{箱Cから赤玉} | \text{Aから赤玉}) = \frac{P(\text{Aから赤玉、箱Cから赤玉})}{P(\text{Aから赤玉})}$

Aから赤玉を取り出し、箱Cから赤玉を取り出す確率は、Bから赤玉を取り出す確率を足すと $\frac{3}{5} \times \frac{3}{7} + \frac{3}{5} \times \frac{4}{7} = \frac{9}{35} + \frac{12}{35} = \frac{21}{35}$

$P(\text{Aから赤玉、箱Cから赤玉}) = \frac{21}{35}$

よって、$P(\text{箱Cから赤玉} | \text{Aから赤玉}) = \frac{P(\text{Aから赤玉、箱Cから赤玉})}{P(\text{Aから赤玉})} = \frac{\frac{9}{35} + \frac{12}{35}}{\frac{3}{5}} = \frac{\frac{21}{35}}{\frac{3}{5}} = \frac{\frac{21}{35}}{\frac{21}{35}} \times \frac{\frac{21}{35}}{\frac{3}{5}}$

$P(\text{Aから赤玉} | \text{箱Cから赤玉}) = \frac{\frac{21}{35}}{\frac{27}{35}} = \frac{21}{27} = \frac{7}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{27}{35}$

(2) $\frac{27}{35}$

(3) $\frac{7}{9}$