PからQまで最短経路を進むとき、次の確率を求めます。 (1) 最短経路である1つの道を選ぶことが同様に確からしいとして、Rを通る確率 (2) 各交差点で、上へ行くか右へ行くかが同様に確からしいとして、Rを通る確率

1. 問題の内容

PからQまで最短経路を進むとき、次の確率を求めます。

(1) 最短経路である1つの道を選ぶことが同様に確からしいとして、Rを通る確率

(2) 各交差点で、上へ行くか右へ行くかが同様に確からしいとして、Rを通る確率

2. 解き方の手順

(1)

PからQまでの最短経路は、右に3回、上に2回移動することで到達します。

したがって、PからQまでの最短経路の総数は、5回の移動のうち右に3回移動する方法の数であるから、

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

PからRまでの最短経路は、右に2回、上に1回移動することで到達します。

したがって、PからRまでの最短経路の総数は、3回の移動のうち右に2回移動する方法の数であるから、

$_{3}C_{2} = \frac{3!}{2!1!} = 3$ 通りです。

RからQまでの最短経路は、右に1回、上に1回移動することで到達します。

したがって、RからQまでの最短経路の総数は、2回の移動のうち右に1回移動する方法の数であるから、

$_{2}C_{1} = \frac{2!}{1!1!} = 2$ 通りです。

したがって、PからRを通りQまで行く最短経路の数は、$3 \times 2 = 6$ 通りです。

よって、求める確率は、$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ です。

(2)

各交差点で上へ行くか右へ行くかが同様に確からしいので、それぞれの確率が $\frac{1}{2}$ です。

PからRへ行く確率は、右、右、上の順、右、上、右の順、上、右、右の順の３通りです。

PからRへ行く確率は、

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$

RからQへ行く確率は、右、上と上、右の2通りです。

RからQへ行く確率は、

$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

よって求める確率は、

$\frac{3}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{16}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{5}$

(2) $\frac{3}{16}$