袋の中に赤玉が2個、青玉が3個入っている。玉を1個取り出し、赤玉なら袋に戻し、青玉なら戻さないという操作を2回繰り返す。 (1) 1回目に青玉、2回目に赤玉を取り出す確率を求めよ。 (2) 2回目に赤玉を取り出す確率を求めよ。 (3) 2回目に取り出した玉が赤玉であったとき、1回目に取り出した玉が青玉である確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が2個、青玉が3個入っている。玉を1個取り出し、赤玉なら袋に戻し、青玉なら戻さないという操作を2回繰り返す。

(1) 1回目に青玉、2回目に赤玉を取り出す確率を求めよ。

(2) 2回目に赤玉を取り出す確率を求めよ。

(3) 2回目に取り出した玉が赤玉であったとき、1回目に取り出した玉が青玉である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

1回目に青玉を取り出す確率は $\frac{3}{5}$ 。

1回目に青玉を取り出した場合、袋の中には赤玉2個、青玉2個が残る。

2回目に赤玉を取り出す確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ 。

したがって、求める確率は $\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$ 。

(2)

2回目に赤玉を取り出す確率は、

(i) 1回目に赤玉を取り出し、2回目に赤玉を取り出す場合

(ii) 1回目に青玉を取り出し、2回目に赤玉を取り出す場合

の2つの場合に分けて考える。

(i) 1回目に赤玉を取り出し、2回目に赤玉を取り出す確率

1回目に赤玉を取り出す確率は $\frac{2}{5}$ 。

1回目に赤玉を取り出した場合、袋の中身は変わらないので、2回目に赤玉を取り出す確率は $\frac{2}{5}$ 。

したがって、確率は $\frac{2}{5} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{25}$ 。

(ii) 1回目に青玉を取り出し、2回目に赤玉を取り出す確率

(1)より、確率は $\frac{3}{10}$ 。

したがって、2回目に赤玉を取り出す確率は

$\frac{4}{25} + \frac{3}{10} = \frac{8}{50} + \frac{15}{50} = \frac{23}{50}$ 。

(3)

求める確率は、2回目に赤玉を取り出したときに、1回目に青玉を取り出した条件付き確率である。

これは、1回目に青玉を取り出し、2回目に赤玉を取り出す確率を、2回目に赤玉を取り出す確率で割れば求まる。

$P(1回目青玉 | 2回目赤玉) = \frac{P(1回目青玉 \cap 2回目赤玉)}{P(2回目赤玉)}$

$= \frac{\frac{3}{10}}{\frac{23}{50}} = \frac{3}{10} \times \frac{50}{23} = \frac{3 \times 5}{23} = \frac{15}{23}$ 。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{10}$

(2) $\frac{23}{50}$

(3) $\frac{15}{23}$