100人の野球選手を無作為抽出し、直近1週間に打ったホームランの本数を調べた結果が表にまとめられている。このデータを用いて、1人あたりのホームラン数の母平均を信頼度95%で推定する問題です。標本平均は既に1本と分かっています。母標準偏差の値が不明だが、標本サイズが大きいことから、95%信頼区間を求める必要があります。

1. 問題の内容

100人の野球選手を無作為抽出し、直近1週間に打ったホームランの本数を調べた結果が表にまとめられている。このデータを用いて、1人あたりのホームラン数の母平均を信頼度95%で推定する問題です。標本平均は既に1本と分かっています。母標準偏差の値が不明だが、標本サイズが大きいことから、95%信頼区間を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、標本平均$\bar{X}$を計算します。問題文より、$\bar{X} = 1$です。

次に、標本分散$s^2$を計算します。

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{X})^2 f_i}{n-1}$

ここで、$x_i$はホームランの本数、$f_i$は人数（度数）、nは標本サイズです。

$s^2 = \frac{(0-1)^2 \times 41 + (1-1)^2 \times 27 + (2-1)^2 \times 23 + (3-1)^2 \times 9}{100-1}$

$s^2 = \frac{1 \times 41 + 0 \times 27 + 1 \times 23 + 4 \times 9}{99} = \frac{41 + 0 + 23 + 36}{99} = \frac{100}{99} \approx 1.0101$

標本標準偏差$s$は$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{100}{99}} \approx 1.005$

母標準偏差が不明であるため、標本標準偏差$s$で代用します。標本サイズn=100と大きいので、t分布ではなく正規分布で近似します。信頼度95%なので、$z = 1.96$を用います。

95%信頼区間は以下のように計算します。

$\bar{X} - z \times \frac{s}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + z \times \frac{s}{\sqrt{n}}$

$\bar{X} - 1.96 \times \frac{s}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + 1.96 \times \frac{s}{\sqrt{n}}$

$\bar{X} - 1.96 \times \frac{\sqrt{100/99}}{\sqrt{100}} \le \mu \le \bar{X} + 1.96 \times \frac{\sqrt{100/99}}{\sqrt{100}}$

$1 - 1.96 \times \frac{\sqrt{100/99}}{10} \le \mu \le 1 + 1.96 \times \frac{\sqrt{100/99}}{10}$

$1 - 1.96 \times \frac{1.005}{10} \le \mu \le 1 + 1.96 \times \frac{1.005}{10}$

$1 - 1.96 \times 0.1005 \le \mu \le 1 + 1.96 \times 0.1005$

$1 - 0.197 \le \mu \le 1 + 0.197$

$0.803 \le \mu \le 1.197$

画像から、

1: 1

2: 100/99

3: 10

4: 10

5: 100/99

6: 10

7: 10

8: 0.80

9: 0.81

10: 0.82

11: 0.83

12: 1.17

13: 1.18

14: 1.19

15: 1.20

よって、答えは以下のようになります。

1: 1

2: 100

3: 10

4: 99

5: 100

6: 10

7: 99

8: 0.80

14: 1.19

3. 最終的な答え

標本平均$\bar{X}$は 1 本である。

95%信頼区間は、$[\bar{X} - 1.96 \times \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{99} \times 10}, \bar{X} + 1.96 \times \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{99} \times 10}]$

すなわち、$[0.80, 1.19]$