金貨と銀貨を同時に投げる試行を5回繰り返す。金貨が裏なら0点、金貨が表で銀貨が裏なら1点、金貨が表で銀貨も表なら2点が与えられる。5回の試行で得られる点数の合計を$X$とする。 (1) $X=1$となる確率を求めよ。 (2) $X=3$となる確率を求めよ。 (3) $X$が偶数となる確率を求めよ。ただし、$0$は偶数とする。

1. 問題の内容

金貨と銀貨を同時に投げる試行を5回繰り返す。金貨が裏なら0点、金貨が表で銀貨が裏なら1点、金貨が表で銀貨も表なら2点が与えられる。5回の試行で得られる点数の合計を$X$とする。

(1) $X=1$となる確率を求めよ。

(2) $X=3$となる確率を求めよ。

(3) $X$が偶数となる確率を求めよ。ただし、$0$は偶数とする。

2. 解き方の手順

まず、1回の試行で0点、1点、2点となる確率を求める。

金貨が表となる確率を$p_g$、金貨が裏となる確率を$1-p_g$とする。

銀貨が表となる確率を$p_s$、銀貨が裏となる確率を$1-p_s$とする。

金貨と銀貨を同時に投げるので、それぞれ$\frac{1}{2}$とする。

$p_g = \frac{1}{2}$, $1-p_g = \frac{1}{2}$

$p_s = \frac{1}{2}$, $1-p_s = \frac{1}{2}$

0点となる確率：金貨が裏の場合なので $\frac{1}{2}$

1点となる確率：金貨が表で銀貨が裏の場合なので $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

2点となる確率：金貨が表で銀貨も表の場合なので $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

(1) $X=1$となるのは、1点が1回、0点が4回となる場合のみである。

$X=1$となる確率は、${}_5 C_1 (\frac{1}{4})^1 (\frac{1}{2}+\frac{1}{4})^4 = 5 \times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^4 = 5 \times \frac{1}{4} \times \frac{81}{256} = \frac{405}{1024}$

(2) $X=3$となるのは、以下の2つの場合がある。

a. 1点が3回、0点が2回となる場合

b. 1点が1回、2点が1回、0点が3回となる場合

aの場合の確率は、${}_5 C_3 (\frac{1}{4})^3 (\frac{1}{2})^2 = 10 \times \frac{1}{64} \times \frac{1}{4} = \frac{10}{256} = \frac{5}{128}$

bの場合の確率は、${}_5 C_1 {}_4 C_1 (\frac{1}{4})^1 (\frac{1}{4})^1 (\frac{1}{2})^3 = 5 \times 4 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{8} = 20 \times \frac{1}{128} = \frac{20}{128} = \frac{5}{32}$

したがって、$X=3$となる確率は、$\frac{5}{128} + \frac{5}{32} = \frac{5}{128} + \frac{20}{128} = \frac{25}{128}$

(3) $X$が偶数となる確率を求める。

$X$が奇数になる確率を求めて、全体から引く方法を考える。

$X$が奇数になるのは、$X=1,3,5,7,9$のいずれかの場合である。

直接$X$が偶数となる確率を求める。

$X$が偶数になるには、5回の試行で得られる点数の合計が偶数になればよい。

1回の試行で偶数（0または2）となる確率は、$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

1回の試行で奇数（1）となる確率は、$\frac{1}{4}$

5回の試行で合計が偶数になるのは、奇数の回数が偶数回（0回,2回,4回）の場合である。

${}_5 C_0 (\frac{3}{4})^5 + {}_5 C_2 (\frac{1}{4})^2 (\frac{3}{4})^3 + {}_5 C_4 (\frac{1}{4})^4 (\frac{3}{4})^1 = (\frac{3}{4})^5 + 10 (\frac{1}{4})^2 (\frac{3}{4})^3 + 5 (\frac{1}{4})^4 (\frac{3}{4})^1 = \frac{243}{1024} + 10 \times \frac{1}{16} \times \frac{27}{64} + 5 \times \frac{1}{256} \times \frac{3}{4} = \frac{243}{1024} + \frac{270}{1024} + \frac{15}{1024} = \frac{528}{1024} = \frac{33}{64}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{405}{1024}$

(2) $\frac{25}{128}$

(3) $\frac{33}{64}$