A地点から出発し、B地点をゴールとする。コインを投げて表が出たら北へ、裏が出たら東へ1区画進む。進めない場合は動かない。コインの表裏が出る確率はそれぞれ $\frac{1}{2}$ である。 (a) コインを6回投げた結果、ちょうどB地点に到達する確率を求める。 (b) コインを9回投げてもB地点に到達できない確率を求める。

1. 問題の内容

A地点から出発し、B地点をゴールとする。コインを投げて表が出たら北へ、裏が出たら東へ1区画進む。進めない場合は動かない。コインの表裏が出る確率はそれぞれ $\frac{1}{2}$ である。

(a) コインを6回投げた結果、ちょうどB地点に到達する確率を求める。

(b) コインを9回投げてもB地点に到達できない確率を求める。

2. 解き方の手順

(a) A地点からB地点へ行くには、北に3回、東に3回進む必要がある。6回のコイン投げでちょうどB地点に到達するには、表が3回、裏が3回出ればよい。

6回のうち表が3回出る確率は、二項分布で計算できる。

${}_6 C_3 (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^3 = \frac{6!}{3!3!} (\frac{1}{2})^6 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{1}{64} = 20 \times \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$

(b) 9回のコイン投げでB地点に到達するには、北に3回、東に3回進む必要がある。残りの3回は、すでにB地点に到達しているので、北にも東にも進めず、その場にとどまる。つまり、北に3回、東に3回、それ以外(北にも東にも進めない)に3回となる。

B地点に到達するためには、少なくとも北に3回、東に3回出る必要がある。

9回のコイン投げでB地点に到達できる確率を求める。

北に3回、東に3回以上出る確率を求める。

少なくとも3回表と少なくとも3回裏が出る確率を求める。

9回投げてB地点に到達するには、表が3回以上かつ裏が3回以上出ればよい。到達できない場合は、表が2回以下または裏が2回以下の場合である。

到達できる確率を直接計算する代わりに、到達できない確率を計算する。

9回中、表が0, 1, 2回の場合と、裏が0, 1, 2回の場合の確率を計算する。

$P(\text{表が0回}) = {}_9 C_0 (\frac{1}{2})^9 = \frac{1}{512}$

$P(\text{表が1回}) = {}_9 C_1 (\frac{1}{2})^9 = \frac{9}{512}$

$P(\text{表が2回}) = {}_9 C_2 (\frac{1}{2})^9 = \frac{36}{512}$

同様に、

$P(\text{裏が0回}) = {}_9 C_0 (\frac{1}{2})^9 = \frac{1}{512}$

$P(\text{裏が1回}) = {}_9 C_1 (\frac{1}{2})^9 = \frac{9}{512}$

$P(\text{裏が2回}) = {}_9 C_2 (\frac{1}{2})^9 = \frac{36}{512}$

到達できない確率は、$P(\text{表が0,1,2回}) + P(\text{裏が0,1,2回}) = \frac{1+9+36}{512} + \frac{1+9+36}{512} = \frac{46}{512} + \frac{46}{512} = \frac{92}{512} = \frac{23}{128}$

3. 最終的な答え

(a) $\frac{5}{16}$

(b) $\frac{23}{128}$