確率変数 $X$ の期待値 $E[X] = 1$、分散 $V[X] = 5$、確率変数 $Y$ の期待値 $E[Y] = 2$、分散 $V[Y] = 4$ とする。$X$ と $Y$ は互いに独立であるとき、確率変数 $X + 2Y$ の分散 $V[X + 2Y]$ を求める。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の期待値 $E[X] = 1$、分散 $V[X] = 5$、確率変数 $Y$ の期待値 $E[Y] = 2$、分散 $V[Y] = 4$ とする。$X$ と $Y$ は互いに独立であるとき、確率変数 $X + 2Y$ の分散 $V[X + 2Y]$ を求める。

2. 解き方の手順

$X$ と $Y$ が独立であるとき、次の性質が成り立つ。

* $V[aX] = a^2V[X]$ ($a$は定数)

* $V[X+Y] = V[X] + V[Y]$

これらを用いて、$V[X + 2Y]$ を計算する。

まず、$V[2Y]$ を計算する。

$V[2Y] = 2^2 V[Y] = 4V[Y] = 4 \cdot 4 = 16$

次に、$V[X + 2Y]$ を計算する。$X$と$2Y$も独立であるため、

$V[X + 2Y] = V[X] + V[2Y] = 5 + 16 = 21$

3. 最終的な答え

21