母標準偏差が1の母集団から、大きさ $n$ の無作為標本を復元抽出する。このとき、標本平均 $\overline{X}$ の標準偏差が $\frac{2}{7}$ 以下になるような $n$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

母標準偏差が1の母集団から、大きさ $n$ の無作為標本を復元抽出する。このとき、標本平均 $\overline{X}$ の標準偏差が $\frac{2}{7}$ 以下になるような $n$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

標本平均 $\overline{X}$ の標準偏差は、母集団の標準偏差を $\sigma$、標本サイズを $n$ とすると、 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ で表される。

この問題では、母集団の標準偏差 $\sigma = 1$ なので、標本平均 $\overline{X}$ の標準偏差は $\frac{1}{\sqrt{n}}$ となる。

問題文より、この標準偏差が $\frac{2}{7}$ 以下になる必要があるため、以下の不等式が成り立つ。

$\frac{1}{\sqrt{n}} \leq \frac{2}{7}$

両辺の逆数をとると、不等号の向きが反転する。

$\sqrt{n} \geq \frac{7}{2}$

両辺を2乗すると、

$n \geq \frac{49}{4}$

$n \geq 12.25$

$n$ は整数である必要があるため、$n$ の最小値は13となる。

3. 最終的な答え

13