硬貨を2回投げ、表が出たら1点、裏が出たら-1点とします。2回の合計点を $X$ とします。また、さいころを1回投げ、出た目の数を $Y$ とします。このとき、$XY$ の期待値 $E[XY]$ を求める問題です。

1. 問題の内容

硬貨を2回投げ、表が出たら1点、裏が出たら-1点とします。2回の合計点を $X$ とします。また、さいころを1回投げ、出た目の数を $Y$ とします。このとき、$XY$ の期待値 $E[XY]$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

期待値の性質 $E[XY] = E[X]E[Y]$ を利用します。ここで、$X$ と $Y$ は独立な確率変数である必要がありますが、この問題では硬貨投げとサイコロ投げは独立なので、この性質が使えます。

まず、$X$ の期待値 $E[X]$ を計算します。

硬貨を2回投げるので、取りうる $X$ の値は -2, 0, 2 です。

* $X = -2$ となるのは、2回とも裏が出る場合で、確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

* $X = 0$ となるのは、表と裏が1回ずつ出る場合で、確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

* $X = 2$ となるのは、2回とも表が出る場合で、確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

したがって、$X$ の期待値は

$E[X] = (-2) \times \frac{1}{4} + (0) \times \frac{1}{2} + (2) \times \frac{1}{4} = -\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 0$

次に、$Y$ の期待値 $E[Y]$ を計算します。

$Y$ はサイコロの出目なので、取りうる値は 1, 2, 3, 4, 5, 6 です。

それぞれの値が出る確率は $\frac{1}{6}$ なので、$Y$ の期待値は

$E[Y] = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$

最後に、$XY$ の期待値を計算します。

$E[XY] = E[X]E[Y] = 0 \times \frac{7}{2} = 0$

3. 最終的な答え

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