10本のくじの中に当たりくじが3本ある。AとBが順番に1本ずつ、引いたくじを元に戻さずに引く。Aが引いた当たりくじの本数を $X$、Bが引いた当たりくじの本数を $Y$ とするとき、$X + 2Y$ の期待値を求める。

1. 問題の内容

10本のくじの中に当たりくじが3本ある。AとBが順番に1本ずつ、引いたくじを元に戻さずに引く。Aが引いた当たりくじの本数を $X$、Bが引いた当たりくじの本数を $Y$ とするとき、$X + 2Y$ の期待値を求める。

2. 解き方の手順

$X$ と $Y$ の期待値をそれぞれ計算し、期待値の線形性を使って $X + 2Y$ の期待値を求める。

まず、$X$ の期待値 $E[X]$ を計算する。

$X$ はAが引いた当たりくじの本数なので、$X$ は0か1の値をとる。

Aが当たりを引く確率は $3/10$ であるので、

$E[X] = 1 \times \frac{3}{10} + 0 \times \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$

次に、$Y$ の期待値 $E[Y]$ を計算する。

$Y$ はBが引いた当たりくじの本数なので、$Y$ は0か1の値をとる。

Bが当たりを引く確率を求める。

Aが当たりを引いた場合、Bが当たりを引く確率は $2/9$ である。

Aが外れを引いた場合、Bが当たりを引く確率は $3/9$ である。

よって、Bが当たりを引く確率は

$\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} + \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{6}{90} + \frac{21}{90} = \frac{27}{90} = \frac{3}{10}$

したがって、$E[Y] = 1 \times \frac{3}{10} + 0 \times \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$

期待値の線形性より、$E[X + 2Y] = E[X] + 2E[Y]$

$E[X + 2Y] = \frac{3}{10} + 2 \times \frac{3}{10} = \frac{3}{10} + \frac{6}{10} = \frac{9}{10}$

3. 最終的な答え

$E[X + 2Y] = \frac{9}{10}$