ある学校の生徒の血液型は、10人中3人の割合でO型である。任意に選んだ5人の生徒のうちO型の生徒の人数を$X$とするとき、$X$の期待値と分散を求めよ。

1. 問題の内容

ある学校の生徒の血液型は、10人中3人の割合でO型である。任意に選んだ5人の生徒のうちO型の生徒の人数を$X$とするとき、$X$の期待値と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

$X$は二項分布に従う。試行回数$n=5$、成功確率$p=\frac{3}{10}$の二項分布$B(5, \frac{3}{10})$に従う。

二項分布の期待値$E(X)$と分散$V(X)$は以下の式で計算できる。

$E(X) = np$

$V(X) = np(1-p)$

$E(X) = 5 \times \frac{3}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} = 1.5$

$V(X) = 5 \times \frac{3}{10} \times (1 - \frac{3}{10}) = 5 \times \frac{3}{10} \times \frac{7}{10} = \frac{105}{100} = \frac{21}{20} = 1.05$

3. 最終的な答え

期待値: 1.5

分散: 1.05