1000人の生徒が受けた数学のテストの成績が、平均48点、標準偏差15点の正規分布に従うとき、78点以上の生徒の人数を求める問題です。

1. 問題の内容

1000人の生徒が受けた数学のテストの成績が、平均48点、標準偏差15点の正規分布に従うとき、78点以上の生徒の人数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、78点が平均からどれだけ離れているかを標準偏差で測るために、標準化を行います。標準化された値 $z$ は、以下の式で計算できます。

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

ここで、$x$ は得点（78点）、$\mu$ は平均（48点）、$\sigma$ は標準偏差（15点）です。

$z = \frac{78 - 48}{15} = \frac{30}{15} = 2$

したがって、78点は平均から標準偏差2つ分離れていることになります。

次に、標準正規分布表または計算ツールを用いて、$z = 2$ よりも大きい値を取る確率を求めます。この確率は、78点以上の生徒の割合を示します。一般的に、標準正規分布表から、$P(z \geq 2) \approx 0.0228$ となります。

最後に、1000人の生徒のうち、この割合に相当する人数を計算します。

$1000 \times 0.0228 = 22.8$

人数は整数でなければならないので、最も近い整数に丸めます。

3. 最終的な答え

約23人