袋の中に赤球4個、白球2個が入っている。この袋の中から2球を同時に取り出し、色を調べてから元に戻すという操作を$T$とする。 (1) $T$を1回行ったとき、出た球が赤球1個、白球1個である確率を求める。 (2) $T$を1回行ったとき、少なくとも1個が白球である確率を求める。 (3) $T$を2回行ったとき、出た球合計の4個のうち、赤球の個数を$X$とするとき、$X=1$となる確率を求める。 (4) $T$を2回行ったとき、出た球合計の4個のうち、赤球の個数を$X$とするとき、$X=2$となる確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤球4個、白球2個が入っている。この袋の中から2球を同時に取り出し、色を調べてから元に戻すという操作を$T$とする。

(1) $T$を1回行ったとき、出た球が赤球1個、白球1個である確率を求める。

(2) $T$を1回行ったとき、少なくとも1個が白球である確率を求める。

(3) $T$を2回行ったとき、出た球合計の4個のうち、赤球の個数を$X$とするとき、$X=1$となる確率を求める。

(4) $T$を2回行ったとき、出た球合計の4個のうち、赤球の個数を$X$とするとき、$X=2$となる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

全事象は、6個の球から2個を取り出す組み合わせなので、

${}_6 C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り

赤球1個、白球1個を取り出す組み合わせは、

${}_4 C_1 \times {}_2 C_1 = 4 \times 2 = 8$通り

よって、確率は$\frac{8}{15}$。

(2)

少なくとも1個が白球である確率は、1 - (2個とも赤球である確率)で求められる。

2個とも赤球である確率は、$\frac{{}_4 C_2}{{}_6 C_2} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$。

よって、少なくとも1個が白球である確率は$1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$。

(3)

$X=1$となるのは、2回の操作で、赤球1個、白球1個となる場合。

1回目に赤球1個、白球1個が出て、2回目に白球2個が出る場合。

1回目に白球2個が出て、2回目に赤球1個、白球1個が出る場合。

1回目に赤球2個が出て、2回目に赤球1個、白球1個が出る場合。

1回目に赤球1個、白球1個が出る確率は$\frac{8}{15}$。

1回目に白球2個が出る確率は$\frac{{}_2 C_2}{{}_6 C_2} = \frac{1}{15}$。

1回目に赤球2個が出る確率は$\frac{{}_4 C_2}{{}_6 C_2} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$。

$X=1$となるのは、

(i) 1回目に赤球0個、2回目に赤球1個となる場合

(ii) 1回目に赤球1個、2回目に赤球0個となる場合

$\frac{{}_2 C_2}{{}_6 C_2} \times \frac{{}_4 C_1 {}_2 C_1}{{}_6 C_2} + \frac{{}_4 C_1 {}_2 C_1}{{}_6 C_2} \times \frac{{}_2 C_2}{{}_6 C_2} = \frac{1}{15} \times \frac{8}{15} + \frac{8}{15} \times \frac{1}{15} = \frac{16}{225}$

$X=1$なので、2回の操作で赤球が1個、白球が3個出る場合。

1回目に取り出す球が赤球0個、2回目に取り出す球が赤球1個。または、1回目に取り出す球が赤球1個、2回目に取り出す球が赤球0個となる場合。

$\frac{{}_2 C_2}{{}_6 C_2} \cdot \frac{{}_4 C_1 {}_2 C_1}{{}_6 C_2} + \frac{{}_4 C_1 {}_2 C_1}{{}_6 C_2} \cdot \frac{{}_2 C_2}{{}_6 C_2} = \frac{1}{15} \cdot \frac{8}{15} + \frac{8}{15} \cdot \frac{1}{15} = \frac{16}{225}$

(4)

$X=2$なので、2回の操作で赤球が2個、白球が2個出る場合。

(i) 2回とも赤球1個、白球1個が出る場合

(ii) 1回目に赤球2個、2回目に白球2個が出る場合

(iii) 1回目に白球2個、2回目に赤球2個が出る場合

$(\frac{8}{15})^2 + \frac{6}{15} \cdot \frac{1}{15} + \frac{1}{15} \cdot \frac{6}{15} = \frac{64}{225} + \frac{6}{225} + \frac{6}{225} = \frac{76}{225}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8}{15}$

(2) $\frac{3}{5}$

(3) $\frac{16}{225}$

(4) $\frac{76}{225}$