ある工場で900個の製品を無作為に選び調べたところ、90個の不良品があった。 (1) 標本の大きさと標本比率を求めよ。 (2) 母比率$p$に対する信頼度95%の信頼区間を、選択肢から適切なものを選んで完成させよ。 (3) (2)の結果を用いて、信頼区間を具体的に計算せよ。

1. 問題の内容

ある工場で900個の製品を無作為に選び調べたところ、90個の不良品があった。

(1) 標本の大きさと標本比率を求めよ。

(2) 母比率$p$に対する信頼度95%の信頼区間を、選択肢から適切なものを選んで完成させよ。

(3) (2)の結果を用いて、信頼区間を具体的に計算せよ。

2. 解き方の手順

(1)

標本の大きさは、調査対象の製品の個数なので、$n=900$です。

標本比率は、不良品の割合なので、$R = \frac{90}{900} = \frac{1}{10} = 0.1$です。

(2)

母比率$p$に対する信頼度95%の信頼区間は、標本の大きさが大きいとき、以下の式で表されます。

$R - 1.96 \sqrt{\frac{R(1-R)}{n}} \le p \le R + 1.96 \sqrt{\frac{R(1-R)}{n}}$

よって、空欄にあてはまるのは、7: R, 8: R(1-R), 9: n, 10: R, 11: R(1-R), 12: n となります。選択肢の番号で答えるなら、7: ⑦, 8: ⑧, 9: ①, 10: ⑦, 11: ⑧, 12: ①　です。

(3)

$R = 0.1$、$n = 900$を代入して信頼区間を計算します。

$R(1-R) = 0.1 \times 0.9 = 0.09$

$\frac{R(1-R)}{n} = \frac{0.09}{900} = 0.0001$

$\sqrt{\frac{R(1-R)}{n}} = \sqrt{0.0001} = 0.01$

$1.96 \times \sqrt{\frac{R(1-R)}{n}} = 1.96 \times 0.01 = 0.0196$

信頼区間の下限: $0.1 - 0.0196 = 0.0804 \approx 0.08$

信頼区間の上限: $0.1 + 0.0196 = 0.1196 \approx 0.12$

したがって、求める信頼区間は $[0.0804, 0.1196]$ です。

問題の空欄に合うように近似すると、$[0.08, 0.12]$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $n = 900$, $R = 0.1$

(2) 7: ⑦, 8: ⑧, 9: ①, 10: ⑦, 11: ⑧, 12: ①

(3) 13: 8, 14: 0, 15: 4, 16: 1, 17: 1, 18: 9

(注: (3)の答えは近似値です。選択肢に合うように解答してください。)

実際の信頼区間は $[0.0804, 0.1196]$ です.