ある工場でこれまで不良率が10%であった。新製法で作られた製品から100個を抽出して調べたところ、不良品は5個であった。新製法によって不良率が下がったと判断してよいか、有意水準5%の片側検定で検定する。新製法による不良率を $p$ としたとき、帰無仮説、統計量 $Z$ 、棄却域を求める。

1. 問題の内容

ある工場でこれまで不良率が10%であった。新製法で作られた製品から100個を抽出して調べたところ、不良品は5個であった。新製法によって不良率が下がったと判断してよいか、有意水準5%の片側検定で検定する。新製法による不良率を $p$ としたとき、帰無仮説、統計量 $Z$ 、棄却域を求める。

2. 解き方の手順

(1) 帰無仮説の設定：

帰無仮説は「新製法による不良率は変わらない」と設定する。したがって、 $p = 0.1 = \frac{1}{10}$ となる。よって、19には1、20には10が入る。

(2) 統計量 $Z$ の計算：

$Z = \frac{\overline{X} - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ の式を用いる。ここで、$n = 100$ は試行回数、$p = 0.1$ は帰無仮説における不良率、$\overline{X}$ は標本における不良品の個数である。

したがって、$np = 100 \times 0.1 = 10$、$np(1-p) = 100 \times 0.1 \times 0.9 = 9$ となる。

よって、$Z = \frac{\overline{X} - 10}{3}$ となる。したがって、21には10、22には3が入る。また、23には3が入る。

(3) 棄却域の決定：

有意水準5%の片側検定なので、標準正規分布表から、$P(Z \le z) = 0.05$ となる $z$ の値を求める。

$P(Z \le -1.645) \approx 0.05$ なので、棄却域は $Z \le -1.645$ となる。

したがって、24には1、25には6、26には45が入る。

3. 最終的な答え

19: 1

20: 10

21: 10

22: 3

23: 3

24: 1

25: 6

26: 45