1個のサイコロを3回繰り返し投げ、1回目の出目を $x_1$、2回目の出目を $x_2$、3回目の出目を $x_3$ とする。実数 $A$, $B$, $C$ を $A = \sqrt{x_1}$, $B = \sqrt{x_1 x_2}$, $C = \sqrt{x_2 x_3}$ で定める。$A$, $B$, $C$ のうち、整数の個数を $X$ とする。 (i) $X=3$ となる確率を求めよ。 (ii) $X=2$ となる確率を求めよ。 (iii) $X=0$ となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

1個のサイコロを3回繰り返し投げ、1回目の出目を $x_1$、2回目の出目を $x_2$、3回目の出目を $x_3$ とする。実数 $A$, $B$, $C$ を $A = \sqrt{x_1}$, $B = \sqrt{x_1 x_2}$, $C = \sqrt{x_2 x_3}$ で定める。$A$, $B$, $C$ のうち、整数の個数を $X$ とする。

(i) $X=3$ となる確率を求めよ。

(ii) $X=2$ となる確率を求めよ。

(iii) $X=0$ となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) $X=3$ となるのは、$A$, $B$, $C$ がすべて整数となるときである。

$A = \sqrt{x_1}$ が整数となるのは、$x_1 = 1, 4$ のとき。

$B = \sqrt{x_1 x_2}$ が整数となるのは、$x_1 x_2$ が平方数のとき。

$C = \sqrt{x_2 x_3}$ が整数となるのは、$x_2 x_3$ が平方数のとき。

$x_1 = 1$ のとき、$A=1$。$B = \sqrt{x_2}$ が整数となるためには、$x_2 = 1, 4$。

$x_2 = 1$ のとき、$C = \sqrt{x_3}$ が整数となるためには、$x_3 = 1, 4$。 よって$(x_1, x_2, x_3) = (1, 1, 1), (1, 1, 4)$

$x_2 = 4$ のとき、$C = \sqrt{4x_3} = 2\sqrt{x_3}$ が整数となるためには、$x_3 = 1, 4$。 よって$(x_1, x_2, x_3) = (1, 4, 1), (1, 4, 4)$

$x_1 = 4$ のとき、$A=2$。$B = \sqrt{4x_2} = 2\sqrt{x_2}$ が整数となるためには、$x_2 = 1, 4$。

$x_2 = 1$ のとき、$C = \sqrt{x_3}$ が整数となるためには、$x_3 = 1, 4$。 よって$(x_1, x_2, x_3) = (4, 1, 1), (4, 1, 4)$

$x_2 = 4$ のとき、$C = \sqrt{4x_3} = 2\sqrt{x_3}$ が整数となるためには、$x_3 = 1, 4$。 よって$(x_1, x_2, x_3) = (4, 4, 1), (4, 4, 4)$

合計8通りなので、$X=3$となる確率は、$\frac{8}{6^3} = \frac{8}{216} = \frac{1}{27}$

(ii) $X=2$ となるのは、$A,B$ が整数、$C$ が整数でない、または、$A,C$ が整数、$B$が整数でない、または、$B,C$が整数、$A$が整数でないとき。

(iii) $X=0$となるのは、$A$, $B$, $C$ がすべて整数でないとき。

(i) $X=3$ となるのは、$(1,1,1), (1,1,4), (1,4,1), (1,4,4), (4,1,1), (4,1,4), (4,4,1), (4,4,4)$の8通り。

$A$ が整数となるのは $x_1 = 1, 4$ のとき。

$B$ が整数となるのは $x_1 x_2$ が平方数になるとき。

$C$ が整数となるのは $x_2 x_3$ が平方数になるとき。

$A$ が整数でないのは $x_1 = 2, 3, 5, 6$。

$B$ が整数でないのは $x_1 x_2$ が平方数でないとき。

$C$ が整数でないのは $x_2 x_3$ が平方数でないとき。

$X=1$となるのは$A,B,C$のうち一つだけが整数になるとき.

余事象として$X=1,2$となるものを求めるのが大変なので$X=0$の時を求めます。

$X=1,2,3$ を求める代わりに、全体の事象からそれらを除外する方法は難しいです。

すべての組み合わせは、$6^3 = 216$ 通り。

(i) $X=3$となる確率は、$\frac{8}{216} = \frac{1}{27}$。 シ=1, スセ=27

次に$X=2$となる確率を求めます。

(ii) $X=2$

$A,B$ が整数、$C$が整数でないとき。

$A=\sqrt{x_1}$が整数より、$x_1 = 1,4$。

$B=\sqrt{x_1 x_2}$が整数より、$x_1 x_2$は平方数。

$x_1=1$の時、$x_2 = 1,4$、$C=\sqrt{x_2 x_3}=\sqrt{x_3}$または$\sqrt{4x_3}=2\sqrt{x_3}$が整数でない時

$x_2=1$より$x_3=2,3,5,6$となり$C=\sqrt{x_3}$は整数にならない。

$x_2=4$より$x_3=2,3,5,6$となり$C=2\sqrt{x_3}$は整数にならない。

よって$(1,1,2), (1,1,3), (1,1,5), (1,1,6), (1,4,2), (1,4,3), (1,4,5), (1,4,6)$.

$x_1=4$の時、$x_2 = 1,4$、$C=\sqrt{x_2 x_3}=\sqrt{x_3}$または$\sqrt{4x_3}=2\sqrt{x_3}$が整数でない時

$x_2=1$より$x_3=2,3,5,6$となり$C=\sqrt{x_3}$は整数にならない。

$x_2=4$より$x_3=2,3,5,6$となり$C=2\sqrt{x_3}$は整数にならない。

よって$(4,1,2), (4,1,3), (4,1,5), (4,1,6), (4,4,2), (4,4,3), (4,4,5), (4,4,6)$.

$A,C$ が整数、$B$が整数でないとき。

$A=\sqrt{x_1}$が整数より、$x_1 = 1,4$。

$C=\sqrt{x_2 x_3}$が整数より、$x_2 x_3$は平方数。

$x_1=1$の時,$x_2x_3$は平方数より$(x_2,x_3)=(1,1), (1,4), (4,1), (4,4)$. $x_2=1, x_3=1,4, x_2=4, x_3=1,4$

$x_1=4$の時,$x_2x_3$は平方数より$(x_2,x_3)=(1,1), (1,4), (4,1), (4,4)$.

$B$が整数にならない時

$B=\sqrt{x_1 x_2}$ $x_2=1, x_2=4$ の時$x_1x_2$ が平方数で$B$は整数なので矛盾.

$B,C$ が整数、$A$が整数でないとき。

$C=\sqrt{x_2 x_3}$より$x_2 x_3$は平方数。$A=\sqrt{x_1}$が整数でないより$x_1 = 2,3,5,6$

$(x_2, x_3) = (1,1), (1,4), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4), (5,5), (6,6)$

$A = \sqrt{x_1}$ より $x_1$ は平方数でないので $x_1=2,3,5,6$

例えば、$x_2=1, x_3=1$ の時 $x_1=2,3,5,6$ で$A=\sqrt{x_1}$は整数にならない。

$x_2=1, x_3=4$ の時 $x_1=2,3,5,6$ で$A=\sqrt{x_1}$は整数にならない。

$x_2=2, x_3=2$ の時 $x_1=2,3,5,6$ で$A=\sqrt{x_1}$は整数にならない。

$x_2=3, x_3=3$ の時 $x_1=2,3,5,6$ で$A=\sqrt{x_1}$は整数にならない。

$x_2=4, x_3=1$ の時 $x_1=2,3,5,6$ で$A=\sqrt{x_1}$は整数にならない。

$x_2=4, x_3=4$ の時 $x_1=2,3,5,6$ で$A=\sqrt{x_1}$は整数にならない。

$x_2=5, x_3=5$ の時 $x_1=2,3,5,6$ で$A=\sqrt{x_1}$は整数にならない。

$x_2=6, x_3=6$ の時 $x_1=2,3,5,6$ で$A=\sqrt{x_1}$は整数にならない。

$x_1=2,3,5,6$ ,$x_2 x_3$は平方数のとき。

$A=x_1$が整数にならないので、$X=1$または$X=2$。$X=1$になる場合を除く。

$X=2$の場合が$C=\sqrt{x_2 x_3}$は整数なので、$B=\sqrt{x_1 x_2}$整数になる必要がある。

(iii) $X=0$。

$A=\sqrt{x_1}$が整数でない、$B=\sqrt{x_1 x_2}$が整数でない,$C=\sqrt{x_2 x_3}$整数でない場合。

全体からX=3、AとBだけが整数の場合（X=2）、BとCだけが整数の場合（X=2）AとCだけが整数となる場合を除きます。

$X=2$は$4+8+4+4+8+4=36$

$\frac{8}{216}+\frac{36}{216}=\frac{44}{216}$

3. 最終的な答え

(i) $\frac{1}{27}$

(ii) $\frac{17}{108}$

(iii) $\frac{34}{216} = \frac{17}{108}$

ソ=17, タチ=108

ツテ=100, トナニ=216