AチームとBチームが野球の試合をする。先に3試合勝った方が優勝とする。Aチームが勝つ確率は $\frac{2}{3}$ 、Bチームが勝つ確率は $\frac{1}{3}$ であるとき、Aチームがちょうど5試合目に優勝する確率を求める。

1. 問題の内容

AチームとBチームが野球の試合をする。先に3試合勝った方が優勝とする。Aチームが勝つ確率は $\frac{2}{3}$ 、Bチームが勝つ確率は $\frac{1}{3}$ であるとき、Aチームがちょうど5試合目に優勝する確率を求める。

2. 解き方の手順

Aチームが5試合目に優勝するためには、5試合目でAチームが勝つ必要があり、それまでの4試合でAチームが2勝、Bチームが2勝している必要がある。

4試合でAが2勝、Bが2勝する確率は、二項分布で計算できる。4回の試行で成功確率が $\frac{2}{3}$ の試行が2回成功する確率は、

$_{4}C_{2} (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2$

で与えられる。

$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

したがって、4試合でAが2勝、Bが2勝する確率は、

$6 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^2 = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

5試合目にAが勝つ確率は $\frac{2}{3}$ であるから、Aチームがちょうど5試合目に優勝する確率は、

$\frac{8}{27} \times \frac{2}{3} = \frac{16}{81}$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{81}$