原点を中心とする半径 $R$ の円について、 (1) 直交座標と極座標における方程式を求める。 (2) (1) で求めた方程式と定積分を用いて、円の周長と面積を求める。

1. 問題の内容

原点を中心とする半径 $R$ の円について、

(1) 直交座標と極座標における方程式を求める。

(2) (1) で求めた方程式と定積分を用いて、円の周長と面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直交座標では、円上の任意の点 $(x, y)$ と中心 $(0, 0)$ との距離が $R$ であることから、

$x^2 + y^2 = R^2$

極座標では、円上の任意の点 $(r, \theta)$ について、$r$ が常に $R$ であることから、

$r = R$

(2) 円の周長を求めるために、まず円の方程式から $y$ を $x$ の関数として表します。

$y = \sqrt{R^2 - x^2}$

円の第一象限の部分の長さを求め、それを4倍することで円周を求めます。第一象限は $x$ が $0$ から $R$ まで変化する部分に対応します。

円周 $L$ は、以下の式で計算できます。

$L = 4 \int_{0}^{R} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$

$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2}}$

$(\frac{dy}{dx})^2 = \frac{x^2}{R^2 - x^2}$

$1 + (\frac{dy}{dx})^2 = 1 + \frac{x^2}{R^2 - x^2} = \frac{R^2}{R^2 - x^2}$

したがって、

$L = 4 \int_{0}^{R} \sqrt{\frac{R^2}{R^2 - x^2}} dx = 4R \int_{0}^{R} \frac{1}{\sqrt{R^2 - x^2}} dx$

ここで、$x = R\sin\theta$ と置換すると、$dx = R\cos\theta d\theta$。また、$x$ が $0$ から $R$ まで変化するとき、$\theta$ は $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化します。

$L = 4R \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{R^2 - R^2\sin^2\theta}} R\cos\theta d\theta = 4R \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{R\cos\theta}{R\cos\theta} d\theta = 4R \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta$

$L = 4R [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 4R (\frac{\pi}{2} - 0) = 2\pi R$

円の面積を求めるには、極座標表示された円の方程式 $r = R$ を利用します。

円の面積 $A$ は、以下の式で計算できます。

$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} r^2 d\theta$

$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} R^2 d\theta = \frac{R^2}{2} \int_{0}^{2\pi} d\theta = \frac{R^2}{2} [\theta]_{0}^{2\pi} = \frac{R^2}{2} (2\pi - 0) = \pi R^2$

3. 最終的な答え

直交座標の方程式：$x^2 + y^2 = R^2$

極座標の方程式：$r = R$

円周：$2\pi R$

面積：$\pi R^2$