三角形ABCにおいて、与えられた条件から残りの辺の長さと角の大きさを求める。 (1) $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$, $b = \sqrt{2}$ の場合 (2) $a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{3} - 1$, $C = 135^\circ$ の場合

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、与えられた条件から残りの辺の長さと角の大きさを求める。

(1) $A = 60^\circ$, $B = 45^\circ$, $b = \sqrt{2}$ の場合

(2) $a = \sqrt{2}$, $b = \sqrt{3} - 1$, $C = 135^\circ$ の場合

2. 解き方の手順

(1)

まず、角Cを求める。三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、

$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ が成り立つので、

$\frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}$

$a = \frac{\sqrt{2} \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

同様に、正弦定理より、$\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}$ が成り立つので、

$\frac{c}{\sin 75^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}$

ここで、$\sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$

$c = \frac{\sqrt{2} \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

(2)

余弦定理より、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ が成り立つので、

$c^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3} - 1)^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} - 1) \cos 135^\circ$

$= 2 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) - 2\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})$

$= 2 + 4 - 2\sqrt{3} + 2(\sqrt{3} - 1)$

$= 6 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2 = 4$

$c = \sqrt{4} = 2$

次に、正弦定理より、$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C}{c}$ が成り立つので、

$\sin A = \frac{a \sin C}{c} = \frac{\sqrt{2} \sin 135^\circ}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{1}{2}$

よって、$A = 30^\circ$

最後に、$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 30^\circ - 135^\circ = 15^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $c = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$, $a = \sqrt{3}$, $C = 75^\circ$

(2) $c = 2$, $A = 30^\circ$, $B = 15^\circ$