三角形 ABC において、辺 AC の長さが $4\sqrt{3}$、辺 AB の長さが $3\sqrt{6}$、角 A の大きさが $45^\circ$ であるとき、辺 BC の長さ $x$ を求めよ。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、辺 AC の長さが $4\sqrt{3}$、辺 AB の長さが $3\sqrt{6}$、角 A の大きさが $45^\circ$ であるとき、辺 BC の長さ $x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて $x$ を求めます。余弦定理は、三角形 ABC において以下の式で表されます。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

この問題の場合、$BC = x$, $AB = 3\sqrt{6}$, $AC = 4\sqrt{3}$, $A = 45^\circ$ なので、これらを代入すると、

$x^2 = (3\sqrt{6})^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \cos 45^\circ$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であるから、

$x^2 = (9 \cdot 6) + (16 \cdot 3) - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x^2 = 54 + 48 - 12 \cdot \sqrt{36}$

$x^2 = 102 - 12 \cdot 6$

$x^2 = 102 - 72$

$x^2 = 30$

$x = \sqrt{30}$

3. 最終的な答え

$x = \sqrt{30}$