$\sqrt{\frac{1}{3}}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{27}$ の大小関係を不等号 $<$ を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{1}{3}}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{27}$ の大小関係を不等号 $<$ を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

すべての数を同じ指数で表せるように、それぞれの数を指数表記に変換し、指数を揃えます。

まず、それぞれの数を指数表記にします。

$\sqrt{\frac{1}{3}} = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}} = (3^{-1})^{\frac{1}{2}} = 3^{-\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{3^3} = (3^3)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{3}{4}}$

次に、指数 $-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{3}{4}$ の分母の最小公倍数を求めます。2, 3, 4 の最小公倍数は 12 です。よって、指数をすべて $\frac{1}{12}$ の形にします。

$3^{-\frac{1}{2}} = 3^{-\frac{6}{12}} = (3^{-6})^{\frac{1}{12}} = (\frac{1}{3^6})^{\frac{1}{12}} = (\frac{1}{729})^{\frac{1}{12}}$

$3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{12}} = (3^4)^{\frac{1}{12}} = (81)^{\frac{1}{12}}$

$3^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{9}{12}} = (3^9)^{\frac{1}{12}} = (19683)^{\frac{1}{12}}$

$(\frac{1}{729})^{\frac{1}{12}}$, $(81)^{\frac{1}{12}}$, $(19683)^{\frac{1}{12}}$ の大小関係は、底の大小関係と同じです。

$\frac{1}{729} < 81 < 19683$ なので、

$(\frac{1}{729})^{\frac{1}{12}} < (81)^{\frac{1}{12}} < (19683)^{\frac{1}{12}}$

したがって、

$\sqrt{\frac{1}{3}} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[4]{27}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{\frac{1}{3}} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[4]{27}$